유한 한 차이를 가진 견고한 역학 :“코너 노드”를 처리하는 방법?

견고한 역학 (선형 탄성)의 코딩 경계 조건에 관한 질문이 있습니다. 특별한 경우 유한 차분 (3D)을 사용해야합니다. 나는이 주제를 처음 접했으므로 다음 질문 중 일부가 매우 기본적 일 수 있습니다.

내 특정 문제로 이어지기 위해서는 먼저 이미 구현 한 것을 보여주고 싶습니다 (명확하게 유지하기 위해 2D 만 사용합니다).

1.) 나는 의 다음과 같은 이산 을 사용하여 분기의 첫 번째 구성 요소를 보여줍니다. :$div(\sigma) = 0$$\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial y} = 0$

스 태거되지 않은 그리드를 사용하므로 Ux와 Uy가 동일한 위치에 정의됩니다.

2.) 다음 단계는 경계선을 처리하는 것이 었습니다. 여기서 "고스트 노드"를 사용합니다. 따르면 , 경계에 응력이다.$\sigma \bullet n = t^*$$t^*$

a) 여기서 나는 를 사용하여 Ux와 Uy의 다른 모든 값이 (본체 내부) 제공되므로 유령 지점에서 Ux. 는 경계에 대한이 응력의 값입니다 (일반적으로 0).$(\lambda + 2\mu)\frac{\partial U_x}{\partial x} + \lambda \frac{\partial U_y}{\partial y} = \sigma_{xx}^*$$\sigma_{xx}^*$

b) 동일한 과정만을 통하여 I 유령에 우이를 얻을 포인트. 다시 는 경계에 대한이 응력의 값입니다 (일반적으로 0).$\mu\frac{\partial U_x}{\partial y} + \mu \frac{\partial U_y}{\partial x} = \sigma_{xy}^*$$\sigma_{xy}^*$

3.) 나는 지금까지 나의 모든 단계가 논리 인 것처럼 생각한다 . 그러나 이제는 "코너 노드"도 있습니다. 여기서는 노드를 처리하는 방법에 대한 단서가 없습니다.

코너 노드에서 대한 스키마를 유지하려면 왼쪽 아래 노드에서 Ux 및 Uy가 필요합니다. 그러나 노드가 경계에 직교하지 않기 때문에 여기에서 2)와 같은 이전 절차가 작동하지 않습니다. 이미 변위를 추정하려고했지만 안정성 문제가 발생할 것으로 보입니다 (반복 솔버로 암시 된 모든 문제를 해결하고 있습니다).$div(\sigma) = 0$

내 질문은이 "코너 노드"를 처리하는 올바른 방법은 무엇입니까? 나는 모든 아이디어에 행복합니다.

나는 코너 경계 조건과 비슷한 문제를 겪었고, 특히 균일하게 적용된 횡압으로 구조 플레이트 문제를 해결하는 데있어. 특히 모서리를 포함하여 모서리에 전단 하중을 얻으려고하는 경우. 전단 하중은 ∂ ^ 3 w / ∂ ^ 2 x∂y의 함수입니다. 중심 차이 방식을 사용하면이 미분을 결정하기 위해 코너 노드에 대각선 인 "고스트"노드가 필요합니다. 인접한 노드를 기반으로 한 평균화가 적절하다고 생각하지 않습니다. 내가 한 것은 코너 노드에서 계산 한 비틀림 모멘트 Mxy를 사용하여 변위의 함수로서 비틀림 모멘트에 대한 유한 차분 "분자"와 동일시하는 것입니다. 필자는 판의 가장자리를 따라 경계 조건에 따라 다른 모든 인접 노드의 변위를 이미 알고 있었기 때문에이 까다로운 코너 노드를 해결하기 만하면됩니다. 이것이 도움이되기를 바랍니다.

고유 한 해가없는 방정식 시스템을 풀려고 할 수 있습니다. 공간에 떠 다니는 스프링으로 연결된 많은 노드가 있고 각 노드의 평형 위치를 찾고 싶다고 상상해보십시오. 시스템이 고정 된 물체에 고정되어 있지 않거나 힘이 가해지지 않으면 가능한 해결책이 많이 있습니다. 하나의 솔루션은 항상 번역되거나 회전 될 수 있으며 여전히 솔루션입니다. 변환을 제거하기 위해 한 모서리 노드에서 변위를 수정하고 회전을 제거하기 위해 다른 모서리에서 한 변위를 수정하려고 했습니까?

한 번은 일부 노드를 수정하고 다른 노드에서 수직력을 조정하는 이러한 접근 방식을 시도했지만 개별 경계 노드에 많은 양의 힘을 집중시켜 불안정성을 초래하는 것처럼 보였습니다. 결국 노드 몇 개만 고정하려고하지 않고 모든 노드를 동종 변형률에 상대적으로 고정하려고했습니다. 기본적으로 전체 시스템을 균일하게 변형하지만 각 노드에서 변형률의 로컬 정의에 균일 한 구성 요소를 포함하므로 추가 탄성 에너지를 제공하지 않습니다. 이 백서 및 인용 된 참고 문헌 ( http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nn204177u) 에서 자세한 내용을 확인할 수 있습니다 .

이 불안정성 문제는 가능하면 역학 문제에 대해 유한 요소를 선택해야하는 좋은 이유 일 것입니다.