뻣뻣한 ODE 시스템의 정의

ODE 시스템에 대한 IVP , y ( x 0 ) = y 0을 고려하십시오 . 가장 일반적으로이 문제는 Jacobi 행렬에서 뻣뻣한 것으로 간주됩니다$y'=f(x,y)$$y(x_0)=y_0$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$ has both eigenvalues with very large negative real part and eigenvalues with very small negative real part (I consider only the stable case).

반면에 단 하나의 방정식, 예를 들어 Prothero-Robinson 방정식 경우 λ ≪ - 1 일 때 뻣뻣한 것으로 불립니다 .$y'=\lambda y + g'+\lambda g$$\lambda\ll -1$

따라서 두 가지 질문이 있습니다.

1. ODE 시스템의 강성 정의에 작은 고유 값이 포함되는 이유는 무엇입니까? 매우 큰 음의 실수 부분 만 있으면 시스템이 뻣뻣 해지기에 충분하다고 생각합니다. 이는 명시 적 방법에 작은 시간 단계를 사용하기 때문입니다.

2. 예, 가장 일반적인 강성 문제 (예 : 포물선 PDE로 인해 발생)에는 고유 값이 크거나 작습니다. 그래서 두 번째 질문 : 매우 작은 고유 값이없는 큰 강성 시스템의 좋은 예가 있습니까 (또는 대안 적으로 온화한 비율 )?$\lambda_{\max}/\lambda_{\min}$

자, 질문을 수정합시다. 두 개의 2 차원 선형 ODE 시스템을 고려하십시오. 첫 번째는 고유 값이 {-1000000, -0.00000001}이고 두 번째는 {-1000000, -999999}입니다. 나에 관해서는, 둘 다 뻣뻣하다. 그러나 강성 비율 정의를 고려하면 두 번째 시스템은 그렇지 않습니다. 주요 질문 : 왜 강성 비율이 전혀 고려되지 않습니까?

그리고 질문의 두 번째 부분은 여전히 ​​중요합니다. 역설을 보자. 나는 큰 음의 고유 값과 가벼운 강성 비율 (100 이하)을 가진 "자연적인"큰 ODE 시스템을 찾고 있습니다.

Stiffness involves some separation of scales. In general, if you are interested in phase of the fastest mode in the system, then you have to resolve it and the system is not stiff. But frequently, you are interested in the long-term dynamics of a "slow manifold" rather than the precise rate at which a solution off the slow manifold approaches it.

Chemical reactions and reacting flows are common examples of stiff systems. The van der Pol oscillator is a common benchmark problem for ODE integrators that has a tunable stiffness paramater.

An ocean is another example that is perhaps helpful to visualize. Tsunamis (surface gravity waves) travel at the speed of an airplane and produce complex wave structure, but dissipate over long time scales and are mostly inconsequential to the long-term dynamics of the ocean. Eddies, or the other hand, travel about 100 times slower at quite pedestrian speeds, but cause mixing and transport temperature, salinity, and biogeochemical tracers that are relevant. But the same physics that propagates a surface gravity wave also supports an eddy (a quasi-equilibrium structure), so eddy velocity, path under Coriolis, and rate of dissipation are dependent on the gravity wave speed. This presents an opportunity for a time integration scheme designed for stiff systems to step over the time scale of the gravity wave and only resolve the relevant dynamical time scales. See Mousseau, Knoll, and Reisner (2002) for discussion of this problem with a comparison of splitting and fully implicit time integration schemes.

Related: When should implicit methods be used in the integration of hyperbolic PDEs?

Note that diffusive processes are usually considered to be stiff because the fastest time scale in the discrete system is mesh-dependent, scaling with $(\Delta x)^2$, but the time scale of the relevant physics is mesh independent. In fact, the fastest time scales for a given mesh represent spatially local relaxation to the slower manifold on which longer spatial scales evolve, so implicit methods can be very accurate even in strong norms despite not resolving the fastest scales.

1 부

작은 고유 값은 ODE (초기 값 문제) 시스템의 강성 정의에 포함 되지 않습니다. 내가 알고있는 강성에 대한 만족스러운 정의는 없지만 내가 찾은 최고의 정의는 다음과 같습니다.

초기 조건을 갖는 시스템에 적용되는 유한 안정성의 유한 영역을 갖는 수치 방법이 특정 적분 간격에서 해당 간격의 정확한 해의 평활도와 관련하여 지나치게 작은 스텝 길이를 사용하도록 강요되는 경우 그런 다음 해당 간격에서 시스템이 뻣뻣하다고합니다. (Lambert, JD (1992) , New York : Wiley : Ordinary Differential Systems의 수학적 방법 )

IVP [초기치 문제]는 딱딱한 일부 구간$[0,b]$ if the step size needed to maintain stability of the forward Euler method is much smaller than the step size required to represent the solution accurately. (Ascher, U. M. and Petzold, L. P. (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, Philadelphia:SIAM.)

Stiff equations are equations where certain implicit methods, in particular BDF, perform better, usually tremendously better, than explicit ones. (C. F. Curtiss & J. O. Hirschfelder (1952): Integration of stiff equations. PNAS, vol. 38, p. 235-243)

뻣뻣한 방정식 에 대한 Wikipedia 기사 는 다음 "statements"를 Lambert로 표시합니다.

1. 모든 고유 값이 음의 실수 부분을 갖고 강성비가 크면 선형 상수 계수 시스템이 강성입니다.

2. 강도는 정확도가 아닌 안정성 요구 사항이 단계 길이를 제한 할 때 발생합니다. [이 "관측"은 본질적으로 Ascher와 Petzold의 정의입니다.]

3. 강성은 용액의 일부 구성 요소가 다른 구성 요소보다 훨씬 빠르게 붕괴 될 때 발생합니다.

이 각각의 관찰에는 반례가 있습니다 (물론 머리 꼭대기에서 하나를 만들 수는 없었습니다).

2 부

아마도 내가 생각해 낼 수있는 가장 좋은 예는 발화하는 조건에서 화학 반응 속도에 모든 종류의 대형 연소 반응 시스템을 통합하는 것입니다. 방정식 시스템은 점화 될 때까지 뻣뻣한 다음 시스템이 초기 과도를 통과하여 더 이상 뻣뻣하지 않습니다. 점화 이벤트를 제외하고 가장 큰 고유 값과 가장 작은 고유 값의 비율은 크지 않아야합니다. 그러나 그러한 시스템은 엄격한 통합 공차를 설정하지 않으면 딱딱한 통합자를 혼동하는 경향이 있습니다.

Hairer와 Wanner의 저서도 첫 번째 섹션 (4 부, 1 부)에서 뻣뻣한 방정식의 다른 많은 예를 보여주는 몇 가지 다른 예를 제공합니다. (Wanner, G., Hairer, E., 정규 미분 방정식 II 해결 : 강성 및 미분 대수 문제 (2002), Springer.)

Finally, it's worth pointing out the observation of C. W. Gear:

Although it is common to talk about "stiff differential equations," an equation per se is not stiff, a particular initial value problem for that equation may be stiff, in some regions, but the sizes of these regions depend on the initial values and the error tolerance. (C. W. Gear (1982): Automatic detection and treatment of oscillatory and/or stiff ordinary differential equations. In: Numerical integration of differential equations, Lecture notes in Math., Vol. 968, p. 190-206.)

In fact Jed Brown has cleared the question for me. What I'm doing now is just putting his words in the context.

1. Both 2d linear ODE systems from above are stiff (i. e. hard to solve with explicit methods) on relative big time intervals (e. g. [0,1]).

2. The linear systems with large stiffness ratio can be considered "more stiff" because most likely one needs to integrate them on large time interval. This is due to slow components corresponding to the smallest eigenvalues: the solution slowly tends to the steady state, and this steady state is usually important to reach.

3. On the other hand, integration of systems with small stiffness ratio on large intervals is not interestng: in this case the steady state is reached very fast and we can just extrapolate it.

Thanks to all for this discussion!

The absolute magnitude of the eigenvalues (in a linear, autonomous problem) alone has no meaning at all; it's an artifact of the units you choose to express the problem in.

The chain of comments is getting out of control, so I'm making this an answer. I'm not going to answer the full question; as I said, see wikipedia or the other answers here. I'm just answering the bit that says

Consider two two-dimensional linear ODE systems: first with eigenvalues {-1000000,-0.00000001} and second with {-1000000,-999999}. As for me, both of them are stiff. But if we consider stiffness ratio definition, the second system is not. The main question: why stiffness ratio is considered at all?

Okay, let's consider an example of the second case:

Now let's consider a time variable with different units: $t^* = 1000000\cdot t$. Then calculus reveals that

Note 1: I chose a diagonal system to make it totally obvious, but if you try it with another system with those eigenvalues, you'll see the same effect, since multiplying a matrix by a constant multiplies its eigenvalues by the same constant.

Note 2: I'm not even discussing here whether the system is stiff. I'm just pointing out that your proposed definition of stiffness (i.e., any problem with $|\lambda|\gg1$) makes no sense, since it would mean that stiffness depends on the units in which I choose to express the problem.