약간 진동하는 시리즈를 높은 정밀도로 계산합니까?

와 같은 흥미로운 기능이 있다고 가정합니다 합리적인 배수에서 연속적이지 않은 파생물과 같은 불쾌한 속성이 있습니다 . 닫힌 양식이 존재하지 않는 것 같습니다.

f (x) = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} .

$f(x) = \sum_{k\geq1} \frac{\cos k x}{k^2(2-\cos kx)}.$

π

$\pi$

부분 합계를 계산하고 Richardson 외삽 법을 사용하여 계산할 수 있지만 문제는 함수를 좋은 십진수로 계산하기에는 너무 느리다는 것입니다 (예를 들어 100은 좋을 것입니다).

이 기능을 더 잘 처리 할 수있는 방법이 있습니까?

다음 은 일부 아티팩트 가 포함 된 플롯입니다 . $f'(\pi x)$

$함수의 미분, $ f '(\ pi x) $$

convergence extrapolation

— 키릴
소스

라는 사실을 사용할 수 있습니다. 여기서 는 체비 쇼프 다항식입니다. 그런 다음 합산은 일련의 합리적인 다항식처럼 보이기 시작합니다. 그런 다음 체비 쇼프 (Chebyshev) 기준으로이 계열을 합리적인 다항식으로 변환 할 수 있으면 매우 효율적인 방법으로 요약 할 수 있습니다. 체비 쇼프 다항식과 기초에 익숙하지 않은 경우 C의 수치 레시피에는 다음과 같은 좋은 입문서가 있습니다. www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/ATAP/ATAPfirst6chapters.pdf

c o s (k x) = T_{k} (x)

$cos(kx) = T_k(x)$

T_{k} (x)

$T_k(x)$

— Jay Lemmon

즉,

c o s (k x) = T_{k} (c o s (x))

$cos(kx) = T_k(cos(x))$

— Jay Lemmon

@JayLemmon 해당 링크에 감사드립니다. 살펴보고 그것이 도움이되는지 살펴 보겠습니다.

— Kirill

이 파티에 조금 늦게 참여하고 있지만 Padé 근사값, 즉 Richardson 외삽 대신 -Algorithm을 사용해 보셨습니까?

ε

$\varepsilon$

— Pedro

진동이 많은 적분의 경우와 유사하게 진동 부품과 비 진동 부품 사이의 분리에 대한 지식이 없으면 좋은 일을 할 수 있다고 생각하지 않습니다. 이와 같은 분리가 있으면 푸리에 시리즈 답변을 통해 쉽게 지수 적으로 수렴 할 수 있습니다.

— Geoffrey Irving

답변:

분석 기법이 허용되지 않지만 주기적 구조가 알려진 경우 여기에 한 가지 방법이 있습니다. 하자 주기로 주기성 , 그래서 여기서는 따라서 적분 직접 근사 하거나 무리를 계산할 수 있습니다

g (x) = \frac{\cos x}{2 - \cos x}

$g(x) = \frac{\cos x}{2-\cos x}$

2 π

$2 \pi$

g (x) = \sum_{j} w_{j} e^{i j x}

$g(x) = \sum_j w_j e^{ijx}$

w_{j} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} g (x) e^{- i j x} d x

$w_j = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(x) e^{-ijx} dx$

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{g (k x)}{k^{p}} \\ = \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^{p}} \sum_{j} w_{j} e^{i j k x} \\ = \sum_{j} w_{j} \sum_{k \geq 1} \frac{{(e^{i j x})}^{k}}{k^{p}} \\ = \sum_{j} w_{j} {Li}_{p} (e^{i j x}) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{g(kx)}{k^p} \\ &= \sum_{k \ge 1} \frac{1}{k^p} \sum_j w_j e^{ijkx} \\ &= \sum_j w_j \sum_{k \ge 1} \frac{\left(e^{ijx}\right)^k}{k^p} \\ &= \sum_j w_j \operatorname{Li}_p(e^{ijx}) \end{aligned}$

w_{j}

$w_j$

f (x)

$f(x)$ DFT를 사용하십시오. 두 경우 모두 잠재적으로 Richardson 외삽을 결과에 적용 할 수 있습니다. 귀하의 경우 가 근처에서 분석 되므로 최종 시리즈는 Richardson없이 기하 급수적으로 수렴합니다.

g (x)

$g(x)$

R

$\mathbb{R}$

— 제프리 어빙
소스

나는 당신이 를 의미한다고 가정합니다 .

g (x) = \cos (x) / (2 - \cos (x))

$g(x) = \cos(x) / (2 - \cos(x))$

— Geoff Oxberry

들면 와 정수, 우리가 여기서 는 트리 감마 함수입니다 ( http://en.wikipedia.org/wiki/Polygamma ). 다음은 아티팩트가 제거 된 함수 및 해당 미분의 도표입니다. $x = 2\pi a/b$ $a,b$

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(k + b n)^{2}} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \frac{ψ^{1} (k / b)}{b^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{\cos {kx}}{k^2 (2 - \cos {kx})} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \sum_{n \ge 0} \frac{1}{(k+bn)^2} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \frac{\psi^1(k/b)}{b^2} \end{aligned}$

ψ^{1} (z)

$\psi^1(z)$ 시리즈의 가치와 파생 상품

— 제프리 어빙
소스

감사합니다. 문제는이 특정 기능을 실제로 평가하고 싶었지만 비슷한 기능을 가지고 있지만 실제로는 동일하지 않은 더 복잡한 다른 기능의 모델로 선택했다는 것입니다. MSE에 대한이 질문에서 닫힌 양식을 알고 있습니다. 나는 닫힌 형식 없이 무한 시리즈를 숫자로 합산하는 것에 대한 질문으로 이것을 의미했습니다 .

— Kirill

어쩌면 내 다른 대답이 더 낫습니까?

— Geoffrey Irving

방법에 대한 레빈 U-변환 ? Fortan 코드 외에도 GSL 에는 `gsl_sum_levin_u * ' 와 같은 여러 버전이 있습니다 . Matlab의 MuPAD 와 Maple 은이 체계를 사용합니다.

— Horchler
소스

나는 그것을 시도했지만 Richardson 외삽이 더 정확하다는 것을 알았습니다.

— Kirill