불연속 단위 단계 기능에 대한 반응 만 알면 불연속 시스템의 임펄스 응답을 얻는 방법이 있습니까?

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지속적인 시간에 가능했다;

u (t) ⟶ system ⟶ y (t) ⟹ δ (t) = \frac{d u (t)}{d t} ⟶ system ⟶ \frac{d y (t)}{d t} = h (t)

$u(t){\longrightarrow} \boxed{\quad\textrm{system}\quad} {\longrightarrow} y(t)\implies \delta(t)=\frac{du(t)}{dt}{\longrightarrow}\boxed{\quad\textrm{system}\quad}{\longrightarrow} \frac{dy(t)}{dt}=h(t)$

이산 시간 시스템에 대해서도 동일하게 적용됩니까? 예 :

δ [t] = \frac{d u [t]}{d t} where: {\begin{cases} δ [t] & is the discrete time delta \\ u [t] & is the discrete time unit step function \end{cases}

$\delta[t]=\frac{du[t]}{dt} \quad\textrm{where:}\begin{cases} \delta[t] &\textrm{is the discrete time delta}\\ u[t] & \textrm{is the discrete time unit step function}\end{cases}$

불연속 단위 단계의 반응 만 알면 불연속 시스템의 임펄스 응답을 얻는 방법이 있습니까?

discrete-signals linear-systems

— pyler
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멋진 질문입니다! DSP.SE에 오신 것을 환영합니다. 주위에 붙어 기부하십시오!

— Phonon

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Phonon의 대답의 간단한 버전은 다음과 같습니다.

한다고 가정 상기 단위 스텝 함수에 대한 시스템의 응답을 나타낸다. 그 다음에 설명한 바와 같이, 이 응답 , 일반적으로 의 합은 스케일링 된 임펄스 응답의 사본을 시간 지연하고, 특히이 경우, 스케일링이 요구되지 않는다; 단지 시간 지연. 따라서 여기서 오른쪽의 열은 (스케일링되지 않은) 시간 지연 임펄스 응답입니다. 따라서 우리는 쉽게 $y$ $y$

\begin{aligned} y [0] & = h [0] \\ y [1] & = h [1] + h [0] \\ y [2] & = h [2] + h [1] + h [0] \\ y [3] & = h [3] + h [2] + h [1] + h [0] \\ ⋮ & = ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} y[0] &= h[0]\\ y[1] &= h[1] + h[0]\\ y[2] &= h[2] + h[1] + h[0]\\ y[3] &= h[3] + h[2] + h[1] + h[0]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$

\begin{aligned} h [0] & = y [0] \\ h [1] & = y [1] - y [0] \\ h [2] & = y [2] - y [1] \\ ⋮ & = ⋮ \\ h [n] & = y [n] - y [n - 1] \\ ⋮ & = ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} h[0] &= y[0]\\ h[1] &= y[1]-y[0]\\ h[2] &= y[2]-y[1]\\ \vdots~ &= ~\vdots\\ h[n] &~= y[n] - y[n-1]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$ 필터, 역, 컨볼 루션, 통합, 연산자 등을 언급하면서 선형시 불변 시스템의 정의에 대한 간단한 결과를 얻을 수 있습니다.

— 디립 사르 베이트
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당신은 내가 가진 것보다 더 오랫동안 이것을 분명히 해냈습니다 =)

— Phonon

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예, 이산 시스템 사례에서도 마찬가지입니다. 이 경우 미분 연산은 1 차 차이로 대체됩니다. 보편적 인 기호는 없다고 생각하지만 이라고합시다 . 이 작업은 신호를 필터링하는 것과 같습니다 . 이 필터를 이라고하겠습니다 . 컨볼 루션을 기호 로 표시하겠습니다 . $D(\cdot)$ $y[n] = x[n] - x[n-1]$ $d[n]$ $*$

컨벌루션에 대해 우리가 알고있는 것을이 연산자에 적용 해 봅시다. 우리는 에 누계 (개별 적분기)로 을 얻는다는 것을 알고 있습니다. 실제로, 표시되는 시스템은 이 이산 적분기로 밝혀졌습니다. 또한이 두 연산자는 서로 역이며 특히 입니다. $u[n]$ $\delta[n]$ $u[n]$ $u[n] * d[n] = \delta[n]$

이제 우리는 컨볼 루션이 교환 적이라는 것을 알고 있습니다

a [n] * b [n] = b [n] * a [n]

$a[n]*b[n] = b[n]*a[n]$

그리고 연관성, 즉

(a [n] * b [n]) * c [n] = a [n] * (b [n] * c [n])

$\left(a[n] * b[n]\right) * c[n] = a[n] * \left(b[n] * c[n]\right)$

따라서

x [n] = δ [n] * x [n] = u [n] * d [n] * x [n] = d [n] * u [n] * x [n] = d [n] * (u [n] * x [n])

$x[n] = \delta[n] * x[n] = u[n] * d[n] * x[n] = d[n] * u[n] * x[n] = d[n] * \left(u[n] * x[n]\right)$

따라서 연속적인 경우와 마찬가지로 1 차 차분을 적용하여 에서 을 복구 할 수 있음을 알 수 있습니다 . $x[n]$ $\left(u[n] * x[n]\right)$

— 포논
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가정 :

연속 시간 영역 : -임펄스 응답 및 -스텝 응답 $h(t)$ $s(t)$
이산 시간 도메인 : -단위 임펄스 응답, -단위 단계 응답 $h[n]$ $s[n]$

직관적으로 말해서, 연속 시간 영역에서의 통합은 불연속 시간 영역에서의 합산과 같습니다. 유사하게, 연속 시간 영역에서의 도함수는 이산 영역에서의 유한 차이와 동등하다.

이 직관적 인 이해를 통해 와 사이의 관계를 고려 하십시오 (게시물의 두 번째 방정식 왼쪽). $u$ $\delta$

연속 시간 영역 : $u(t) = \int \delta(t)$
이산 시간 도메인 : $u[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k]$

마찬가지로 와 의 관계 (게시물에서 두 번째 방정식의 오른쪽 )를 고려하십시오 . $s$ $h$

연속 시간 영역 : $s(t) = \int h(t)$
이산 시간 도메인 : $s[n] = \sum_{k=0}^{\infty} h[n-k]$

마지막 방정식을주의해서 살펴보면 다음과 같습니다.

s [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} h [n - k]

$s[n] = \sum_{k=0}^{\infty}h[n-k]$

이제이 방정식 에서 지연된 버전의 , 즉 사용하여 유한 차이를 사용하여 을 찾을 수 있습니다 . $h[n]$ $s[n]$ $s[n-1]$

h [n] = s [n] - s [n - 1]

$h[n] = s[n] - s[n-1]$

— 누 라바
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