상태 전이 매트릭스를 사용하여 상태 공간 repersentation에서 시스템의 임펄스 응답을 어떻게 찾을 수 있습니까?

표준 상태 공간 표기법으로 선형을 표시한다고 가정합니다.

\dot{엑스} (티) = ㅏ 엑스 (티) + 비 유 (티)

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

와이 (티) = 씨 엑스 (티) + 디 유 (티)

$y(t) = Cx(t) + Du(t)$

임펄스 응답을 얻기 위해 Laplace 변환을 수행하여

에스 엑스 = ㅏ 엑스 + 비 유

$sX=AX+BU$

와이 = 씨 엑스 + 디 유

$Y=CX+DU$

그런 다음 전달 함수를 해결하십시오.

\frac{와이}{유} = 씨 (에스 나는 - ㅏ)^{- 1} 비 + 디

$\frac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B+D$

유사하게, 이산 시스템의 경우, 의 변형 $\mathcal{Z}$

엑스 [엔 + 1] = ㅏ 엑스 [엔] + 비 유 [엔]

$x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]$

와이 [엔] = 씨 엑스 [엔] + 디 유 [엔]

$y[n] = Cx[n] + Du[n]$

이다

\frac{와이}{유} = 씨 (지 나는 - ㅏ)^{- 1} 비 + 디

$\frac{Y}{U}=C(zI-A)^{-1}B+D$

이 과정은 약간 길어 보였고 각 쌍의 첫 번째 방정식의 에 대한 솔루션 인 상태 전이 행렬을 사용하여 임펄스 응답을 찾는 방법이 있음을 기억합니다 . 누구든지 이것을하는 방법을 알고 있습니까? $x$

impulse-response state-space linear-systems

— 포논
소스

첫 번째 방정식에서 표준 비균질 ODE를 풀면 상태 전이 행렬을 사용하여 문제에 접근 할 수 있습니다. 용액에 $\dot{x}(t)=A x(t) + B u(t)$

엑스 (티) = {엑스}_{0} {이자형}^{ㅏ 티} + \int_{0}^{티} {이자형}^{ㅏ (티 - 티^{'})} 비 유 (티^{'}) 디 티^{'}

$x(t)=x_0 e^{At}+\int_{0}^te^{A(t-t')}Bu(t')dt'$

$x_0=x(0)$ $e^{At}$ $\Xi(t)$ $x_0=0$ $y(t)$

와이 (티) = 씨 \int_{0}^{티} Ξ (티 - 티^{'}) 비 유 (티^{'}) 디 티^{'} + 디 유 (티)

$y(t)=C\int_0^t\Xi(t-t')Bu(t')dt'+Du(t)$

$\Xi(t)=e^{At}$ $(sI-A)^{-1}$

와이 = 씨 (에스 나는 - ㅏ)^{- 1} 비 유 + 디 유

$Y=C(sI-A)^{-1}BU+DU$

질문과 동일한 전달 기능을 제공합니다.

완전한 Laplace 변환 접근법에 대한 귀하의 의견이 길다는 것에 관해서는 반드시 그렇게 말할 필요는 없습니다. 그러나 상태 전이 행렬 접근 방식은 구현 이 더 간단 할 수 있습니다.이를 포함하는 여러 가지 연산을 간단한 행렬 곱셈으로 계산할 수 있기 때문입니다.

— 로렘 입숨
소스

아주 좋은 설명입니다.

— Jason R