FIR 필터에 극이 포함되어 있어도 왜 안정적입니까?

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FIR 필터는 항상 어떻게 안정적입니까?
극이 포함되어 있기 때문에 다른 극보다 안정성 문제에 더 영향을받지 않아야합니까?

filters finite-impulse-response

— 사용자
소스

모든 0이 단위 원에 위치하면 FIR은 안정적입니다

— dato datuashvili

2

사실이 아님 : FIR은 항상 안정적이며 단위 원 외부를 포함하여 원하는 위치에 0이있을 수 있습니다. 예 : 필터 [

— 11-6

다시 @Hilmar, 그것은 FIR이 어떻게 구현되는지에 달려 있습니다. TIIR (Truncated IIR)로 구현 된 FIR은 내부에서 안정적이지 않을 수 있습니다. 간단한 횡단 FIR 필터로 구현됩니다. 예, 항상 안정적입니다. "Fast Convolution"(FFT 및 "overlap-add"또는 "overlap-save"사용)을 사용하여 구현하더라도 안정적입니다. 때로는 TIIR 필터로 구현 될 때 안정적입니다 (내부 IIR이 안정적인 경우). 그러나 TIIR로 구현 된 FIR 은 내부적으로 불안정 할 수 있습니다.

— robert bristow-johnson

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FIR 필터에는 극점이없고 제로 만 포함됩니다. 필터에 극이 포함되어 있으면 IIR입니다. IIR 필터는 실제로 안정성 문제에 시달리고주의해서 다루어야합니다.

편집하다:

몇 가지 추가 생각과 약간의 낙서와 google-ing 후, FIR 극에 대한이 질문에 대한 답변이 관심있는 사람들에게 만족 스러울 것이라고 생각합니다.

겉보기에는 극성이없는 FIR 필터의 Z 변환으로 시작 : 바와 같이 RBJ의 대답에 나타낸다는 FIR 기둥의 분자와 분모 곱하여 드러난다에 의해:

H (z) = \frac{b_{0} + b_{1} z^{- 1} + b_{2} z^{- 2} + \dots + b_{N} z^{- N}}{1}

$H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \cdots + b_N z^{-N}}{1}$

H (z)

$H(z)$

z^{N}

$z^{N}$

따라서일반 FIR 필터의 원점에서

극을산출합니다.

H (z) = \frac{b_{0} z^{N} + b_{1} z^{N - 1} + b_{2} z^{N - 2} + \dots + b_{N}}{z^{N}}

$H(z) = \frac{b_0 z^{N} + b_1 z^{N-1} + b_2 z^{N-2} + \cdots + b_N }{z^{N}}$

N

$N$

그러나이를 보여주기 위해 인과성의 가정이 필터에 배치됩니다. 실제로, 인과 관계가 가정되지 않는 좀 더 일반적인 FIR 필터를 고려한다면 : 원점에 다른 수의 극나타납니다.

G (z) = \frac{b_{0} z^{k} + b_{1} z^{k - 1} + b_{2} z^{k - 2} + \dots + b_{N} z^{k - N}}{1}

$G(z) = \frac{b_0 z^{k} + b_1 z^{k-1} + b_2 z^{k-2} + \cdots + b_N z^{k-N}}{1}$

(N - k)

$(N-k)$

G (z) = \frac{b_{0} z^{N} + b_{1} z^{N - 1} + b_{2} z^{N - 2} + \dots + b_{N}}{z^{N - k}}

$G(z) = \frac{b_0 z^{N} + b_1 z^{N-1} + b_2 z^{N-2} + \cdots + b_N }{z^{N-k}}$

따라서 다음과 같은 결론을 내립니다.

(원래 질문에 대답) 일반적으로 FIR 필터에는 항상 Z 평면의 원점에 극점이 있습니다. 그것들은 절대 단위 원을 넘지 않기 때문에 FIR 시스템의 안정성에 위협이되지 않습니다.
$N$ $k$ $N^{th}$ $(k=0)$ $N$
$H (z) = z^{- 1} = \frac{1}{z}$ $H(z) = z^{-1} = \frac{1}{z}$

— 케 네이드
소스

2

실제로 IIR 필터는 그리 위험하지 않습니다.

— user7358

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$z=0$

모든 극이 단위 원 내부에 위치하기 때문에 FIR 필터는 표면적으로 안정적입니다.

이것은 OP가 생각하고있는 FIR 필터가 아닐 수도 있지만, TIIR (Truncated IIR filters)라고하는 FIR 필터 클래스가 있는데, 같은 위치에서 0으로 취소되는 단위 원의 위 또는 외부에 극이있을 수 있습니다. 가장 간단한 예는 이동 합계 또는 이동 평균 필터입니다. 그러나 I / O 관점에서이 TIIR 필터는 FIR입니다.

하지만 순진하게 "안정성"을 보장하지는 않습니다. 제어 시스템 언어를 사용하면 TIIR 필터는 "완전히 관찰 가능"하지 않으며 임펄스 응답의 길이가 유한하게 보이지 않기 때문에 안정적으로 보일 수 있지만, 필터 상태 내부는 지옥에 빠질 수 있습니다. 출력에 나타납니다.

"FIR 필터에는 극이 없습니다" 라는 개념에서 우리 자신을 혼란스럽게해야합니다 . 사실이 아닙니다.

— 로버트 브리스 토우-존슨
소스

FIR 필터에 극이 있음을 수학적으로 보여줄 수 있습니까?

— Jim Clay

극점이있는 FIR의 가장 좋은 예는 CIC (Cascaded Integrated-Comb) 필터입니다. 간단한 이동 평균 필터 (1, 1, 1, 1과 같은 계수)로 시작하여 재귀 적으로 다시 작성하여 극점을 만듭니다. 링크를 참조 하십시오 . 이들은 재귀 형태로 계산을 구현하기에 상당히 저렴하기 때문에 다운 컨버전의 첫 번째 단계로 FPGA에서 종종 구현됩니다. Graychip 설명서를 예로 참조하십시오. 일반적으로 안정성을 유지하기 위해 고정 점으로 구현됩니다.

— David

1

Hogenauer의 원본 논문의 요약은 "데시 메이션 (샘플링 속도 감소) 및 보간 (샘플링 속도 증가)을위한 디지털 선형 위상 유한 임펄스 응답 (FIR) 필터 클래스가 제공됩니다."라는 의견에 동의하지 않을 것이라고 생각합니다.

— David

4

N^{t h}

$N^{th}$

N

$N$

2

CIC 이동 합계 또는 이동 평균 필터 인 @JimClay는 FIR 필터입니다. IR은 F입니다. 일반적으로 횡단 FIR 필터로 구현되지는 않지만 MIPS로 비용을 지불하고 싶을 수도 있습니다.

— robert bristow-johnson

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"FIR 필터에 극이 있다는 것을 수학적으로 보여줄 수 있습니까? – 짐 클레이

이 FIR이 원인이라고 가정 할 수 있습니까?

$N$ $N+1$

유한 임펄스 응답 : $\quad h[n] = 0 \quad \forall \quad n>N, \ n<0$

FIR의 전달 기능 :

\begin{aligned} H (z) & = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} h [n] z^{- n} \\ = \sum_{n = 0}^{N} h [n] z^{- n} \\ = \sum_{n = 0}^{N} z^{- N} h [n] z^{N - n} \\ = z^{- N} \sum_{n = 0}^{N} h [N - n] z^{n} \\ = \frac{\sum_{n = 0}^{N} h [N - n] z^{n}}{z^{N}} \\ = \frac{h [N] + h [N - 1] z + h [N - 2] z^{2} + \dots + h [1] z^{N - 1} + h [0] z^{N}}{(z - 0)^{N}} \end{aligned}

$\begin{align} H(z) & = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n] z^{-n} \\ & = \sum_{n=0}^{N} h[n] z^{-n} \\ & = \sum_{n=0}^{N} z^{-N} h[n] z^{N-n} \\ & = z^{-N} \sum_{n=0}^{N} h[N-n] z^n \\ & = \frac{\sum_{n=0}^{N} h[N-n] z^{n}}{z^N} \\ & = \frac{h[N] + h[N-1]z + h[N-2]z^2 + \cdots + h[1]z^{N-1} + h[0]z^N}{(z-0)^N} \\ \end{align}$

분자를 분해하기 만하면 0이 어디에 있는지 알 수 있습니다. 그러나 모든 극이 FIR 필터에 대한 위치는 분명합니다. 그리고 FIR 필터의 순서만큼 많은 극이 있습니다. 이 극은 주파수 응답에 영향을 미치지 않습니다. 단계를 제외하고.

— 로버트 브리스 토우-존슨
소스

6

나는 정정되었다. 설명 주셔서 감사합니다.

— Jim Clay

1

실제로 정의에 의해 다소. 유한 에너지를 입력하고 필터는 여러 개의 에너지 입력을 최대로 전달하기 때문에 (임펄스 응답에는 유한 에너지가 있음) 결과 신호에는 최대 여러 개의 에너지 입력이 있습니다. IIR 필터처럼 공명 및 확대 할 수 없습니다. 이것은 Kenneides의 답변 뒤에 있습니다.

— 사용자
소스

네, 케 네이드의 대답만큼 그렇습니다.

— robert bristow-johnson

2

H (z) = 1

$H(z)=1$

2

H (z) = 1 = \frac{z}{z}

$H(z) = 1 = \frac{z}{z}$

H (z) = z

$H(z)=z$

1

H (z) = z^{- 1}

$H(z) = z^{-1}$ 않습니다 에 하나의 극이

z = 0

$z=0$ .

— robert bristow-johnson 2012

1

FIR 필터의 폴을 분리 할 수있는 이유에 대해 아무도 실제로 언급하지 않았으므로 아래에서 이에 답하려고 시도했습니다.

FIR 필터는 임펄스 응답의 경계가 필요하기 때문에 원점에서 제거 가능한 극을 갖습니다. 그것은 극 주위에 있으며, 함수가 여전히 동형이되도록 (그 도메인의 모든 지점에서 구별 할 수 있도록) 함수를 정의 할 수 있습니다.

Riemann의 정리는 신호가 도메인의 모든 지점에서 구별 될 수있는 경우 (유한하게 많은 지점 제외), 이러한 특수 지점 주변에 함수가 묶여있는 이웃이 있다는 것입니다. FIR 필터는 한정된 임펄스 응답을 가져야하므로 단위 원 내의 모든 지점에서 임펄스 응답을 차별화 할 수 있어야합니다. 따라서, 신호가 일관된 방식으로 확장되어 특이점이 존재하지 않습니다 (즉, 폴은 제거 가능).

그렇기 때문에 FIR 필터의 z- 변환에는 음의 거듭 제곱이 없습니다. $z$ .

— 톰 킬리
소스

1

Tom, 실현 가능한 FIR의 Z- 변환에는 음의 거듭 제곱 만 포함되어 있다고 생각합니다.

z

$z$ . 음, 긍정적이지 않은 힘만

z

$z$ .

— robert bristow-johnson

@ robertbristow-johnson 죄송합니다. 생성 기능을 생각하고있었습니다. 그러나, 나는 위의 대답이

z

$z$ ->

z^{- 1}

$z^{-1}$ .

— Tom Kealy