실제 이산 푸리에 변환

나는 실제 DFT 와 DFT 를 이해하려고 노력하고 있으며 왜 그 차이가 존재하는지.

I 아는 바로는 지금까지 DFT를 사용하여 기저 벡터 및 범 표현 합 에서 작성된 으로 I 대신 합으로부터가는 푸리에 급수에 유사한 방식으로 그것을 쓰는 생각 역사적인 이유로 $e^{i2\pi kn/N}$

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

k = 0

$k=0$

N - 1

$N-1$

이것은 DFT의 특이한 이방성에 의존합니다. 고주파는 음의 주파수와 같습니다.

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

x [n] = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

e^{i 2 π k n / N} = e^{i 2 π (k - N) n / N}

$e^{i2\pi kn/N}=e^{i2\pi (k-N)n/N}$

푸리에 시리즈와의 유추를 계속하면 실제 DFT는 이 페어링으로 볼 수있는과DFT에 표현의 곳에서 합계 범위로. 이것은 페어링

x [n] = \sum_{k = 0}^{N / 2} (X_{R} [k] \cos (\frac{2 π k n}{N}) - X_{I} [k] \sin (\frac{2 π k n}{N}))

$x[n]=\sum_{k=0}^{N/2}\left(X_R[k]\cos\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)-X_I[k]\sin\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)\right)$

e^{i 2 π k n / N}

$e^{i2\pi kn/N}$

e^{- i 2 π k n / N}

$e^{-i2\pi kn/N}$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

\sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n θ} = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{1}^{\infty} (a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ)

$\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{in\theta}= \frac{a_0}{2} + \sum_1^{\infty}(a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta)$

내 질문그렇다면 왜 DFT가 실제 DFT보다 훨씬 더 보편적입니까? 실제 DFT는 실제 가치있는 사인과 코사인을 기본으로 사용하기 때문에 사람들이 더 좋아하는 기하학적 그림을 더 잘 표현할 것으로 기대합니다. 지수의 대수가 더 간단하기 때문에 DFT와 연속 푸리에 변환이 이론적 인 의미에서 선호되는 이유를 알 수 있습니다. 그러나 실제 계산 적용 관점에서 간단한 대수를 무시하면 DFT가 더 유용한 이유는 무엇입니까? 복잡한 지수로 신호를 표현하는 것이 왜 신호를 사인과 코사인으로 분해하는 것보다 다양한 물리학, 언어, 이미지 등의 응용에 더 유용한가? 또한 위의 박람회에서 누락 된 미묘한 것이 있으면 알고 싶습니다.

dft

— 사용자
소스

N

$N$

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{N - 1}

$x_0,x_1,\dots,x_{N-1}$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{N - 1}

$X_0,X_1,\dots,X_{N-1}$

X_{N - 1}, X_{N - 2}, \dots, X_{N / 2 + 1}

$X_{N-1},X_{N-2},\cdots,X_{N/2+1}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N / 2 - 1}

$X_1,X_2,\dots,X_{N/2-1}$

BTW : 실제 푸리에 변환과 하틀리 변환 에서이 두 논문 을 읽는 것이 좋습니다 . 그들은 DFT 자체와는 별도로 이러한 방법에 대한 관심을 잘 설명해줍니다.

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ}

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}$

Van Loan의 챕터 중 하나가 귀하의 질문을 자세하게 설명합니다. 그것은 Kronecker 제품 조작에 약간의 기술이 있다고 가정합니다.

최소한 지금보다 적은 질문이 있어야합니다.

$A\exp(j\omega t)$ $H(\omega)A\exp(j\omega t)$ $A$ 동일한 지수 집합 . 또한, 각각의 새로운 가중치는 이전 가중치에 적절한 수를 곱함으로써 얻어진다.

$\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) + \exp (- j ω t)}{2} \\ \sin (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) - \exp (- j ω t)}{2 j} \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) + \exp(-j\omega t)}{2}\\ \sin(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) - \exp(-j\omega t)}{2j} \end{align*}$

$\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\cos (α + β) = \cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β)

$\cos (\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$

그러나 실제 생활과 마찬가지로 마일리지가 다를 수 있으며, 죄 / 화상 표현이 진행되고 복잡한 지수를 피해야한다고 생각하면 자유롭게 마음을 따라갈 수 있습니다. 아이디어를 동료, 상사, 고객 또는 컨설턴트와 의사 소통하는 데 어려움이있는 경우 이는 귀하의 아이디어가 아니라 손실입니다.

— 디립 사르 베이트
소스