하이젠 베르크의 불확실성 원칙을 언제 평등으로 쓸 수 있습니까?

우리는 하이젠 베르크 불확실성 원칙에 따르면

Δ f Δ t \geq \frac{1}{4 π} .

$\Delta f \Delta t \geq \frac{1}{4 \pi}.$

그러나 (많은 Morlet wavelet의 경우) 나는 그들이 불평등을 평등으로 바꾼 것을 보았다. 이제 제 질문은 불평등을 평등으로 바꿀 수있는 시점입니다 :

Δ f Δ t = \frac{1}{4 π}

$\Delta f \Delta t = \frac{1}{4 \pi}$ why =

fourier-transform wavelet resolution

— 전기공
소스

그것은 매우 흥미로운 것 같습니다

— dato datuashvili

가우스 분포가 최적의 형태라면 동등하다는 것을 알고 있습니다.이 책을 참조하십시오. 일러스트 웨이 브릿 변환 핸드북 : 과학, 공학, 의학 및 금융의 입문 이론 및 응용

— dato datuashvili

링크가 끊어진 친구입니다. 책을 이메일로 보내거나 다른 링크를 보내시겠습니까? 내 이메일 : <electricaltranslation@gmail.com> 감사합니다 @datodatuashvili

— Electricman

답변:

불확실성 원리의 특별한 형태를 논의하기 전에 신호 의 시간과 주파수 폭 및 을 정의하는 것이 중요합니다 . 이러한 수량에 대한 고유 한 정의는 없습니다. 적절한 정의를 통해 가우시안 신호 만이 불확실성 원리를 동등하게 만족 시킨다는 것을 알 수 있습니다. $\Delta_t$ $\Delta_{\omega}$

푸리에 변환 만족 하는 신호 를 고려하십시오. $f(t)$ $F(\omega)$

\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} (t) d t = 1 (unit energy) \int_{- \infty}^{\infty} t | f (t) |^{2} d t = 0 (centered around t = 0) \int_{- \infty}^{\infty} ω | F (ω) |^{2} d ω = 0 (centered around ω = 0)

$\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt=1\quad\textrm{(unit energy)}\\ \int_{-\infty}^{\infty}t|f(t)|^2dt=0\quad\textrm{(centered around }t=0)\\ \int_{-\infty}^{\infty}\omega|F(\omega)|^2d\omega=0\quad\textrm{(centered around }\omega=0)$

이러한 조건 중 어느 것도 실제로 제한 사항이 아닙니다. 적절한 스케일링, 변환 및 변조를 통해 모두 유한 에너지를 가진 신호에 만족할 수 있습니다.

이제 시간과 주파수 폭을 다음과 같이 정의하면

Δ_{t}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} t^{2} | f (t) |^{2} d t Δ_{ω}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} ω^{2} | F (ω) |^{2} d ω

$\Delta_t^2=\int_{-\infty}^{\infty}t^2|f(t)|^2dt\\ \Delta_{\omega}^2=\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2|F(\omega)|^2d\omega$

불확실성 원리는

\begin{matrix} (2.6.2) & Δ_{t}^{2} Δ_{ω}^{2} \geq \frac{π}{2} \end{matrix}

$\Delta_t^2\Delta_{\omega}^2\ge\frac{\pi}{2}\tag{2.6.2}$

( 가 대해 보다 빨리 사라지는 경우 ) $f(t)$ $1/\sqrt{t}$ $t\rightarrow\pm\infty$

불평등이 가우스 신호에 대한 평등으로 만족되는 경우

\begin{matrix} (2.6.3) & f (t) = \sqrt{\frac{α}{π}} e^{- α t^{2}} \end{matrix}

$f(t)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\alpha t^2}\tag{2.6.3}$

위의 방정식 번호는 Vetterli 및 Kovacevic의 Wavelet and Subband Coding (p.80) 의 증거에 해당합니다 .

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

— 맷 L.
소스

수학 주셔서 감사합니다, 나는 그것을 이해하려고 노력할 것입니다. @ matt-l

— Electricman

@Matt L .: 왜 제곱 가중치로 시간과 주파수 폭을 정의합니까? 나는 학교에서 Δt와 ∆w의 분산이 있음을 보았다. 분포의 편차는 선형 가중치를 사용합니까? 이게 뭐야? 이것이 바로이 불확실성 원리가 함수의 분산과 스펙트럼의 분산에 대해 이야기하는 것이 아니라 다른 것입니까?

— Martijn Courteaux

@MartijnCourteaux : 이것은 신호의 폭을 정의하는 한 가지 방법 일뿐입니다. 시간 함수에 적용되는 경우를 종종 RMS duration 이라고 하며 의 두 번째 순간입니다 .

| f (t) |^{2}

$|f(t)|^2$

— Matt L.

의 두 번째 순간을 포함하는 Heisenberg 불확실성 원리를 수학적으로 진술 할 수 있습니까? 나는 Heisenberg가 사용했다는 것을 이해할 수 있습니다. 그것이 입자 파 함수의 확률이기 때문입니다. 그러나 신호 처리와 관련하여 Heisenberg 원칙을 알고 싶습니다.

f (t)

$f(t)$

| f (x) |^{2}

$|f(x)|^2$

— Martijn Courteaux

@MartijnCourteaux : 이는 인 신호 처리에 관련하여 불확정성 원리. 는 양수와 음수 일 수 있으므로 의 두 번째 모멘트는 기간으로 해석되지 않습니다 . 홀수 신호 상상해보십시오 . 두 번째 순간 는 항상 0입니다 (적분이 수렴하는 경우).

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} t^{2} f (t) d t

$\int_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)dt$

— Matt L.

나는 당신에게 이것 뒤에 모든 이론을 줄 수는 없지만 (문자 그대로 책을 채 웁니다) Heisenberg는 정확하게이 신호 계열에 대해 동등한 평등이되는 것으로 나타났습니다.

s_{t_{0}, ω_{0}, σ, ϕ, γ} (t) = \exp (- {(\frac{t - t_{0}}{σ})}^{2} + i (ϕ + ω_{0} (t - t_{0}) + γ (t - t_{0})^{2}))

$s_{t_0,\omega_0,\sigma,\phi,\gamma}(t) = \exp\left(-\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2 + i \left(\phi + \omega_0 (t-t_0) + \gamma (t-t_0)^2\right)\right)$

여기서 모든 매개 변수는 실수입니다. 이 계열은 단일 가보 원자로부터 시간-주파수의 2 차 대칭에 의해 생성됩니다. 이러한 공생 형태는 하이젠 베르크 불확실성 관계를 보존합니다.

편집 : 이보다 정확하고 사실을 더 정확하게 만들어 보겠습니다. 위에서 언급 한 신호는 시간-주파수 영역을 최소화하지만 시간-주파수 불확실성 제품은 최소화하지 않습니다. 최소 를 원하면 위의 가 사라져야합니다. $\Delta F \cdot \Delta T$ $\gamma$

그러나 시간 주파수 영역의 개념은 시간 및 주파수 축과 정렬되지 않은 형태의 영역을 측정하기 위해 일반화 될 수 있습니다. 이는 F와 T 사이의 불확실성 산물 대신에 F와 T에 의해 포괄되는 두 개의 공역 변수의 최소 불확실성 산물을 측정한다는 것을 의미합니다. 세부 사항은 아끼지 않겠습니다. 당신은 최소한입니다.

— 재즈 매니아
소스

Gabuor fijlter fuonctiuons 아닌가요?`

— 장 이브

그것이 책을 "채우는"이유 중 하나는 평등에 필요한 많은 조건이 정확하게 정의되고 제한되어 있기 때문입니다 (실제 세계와 같은 다른 상황에서는 유용하지 않음).

— hotpaw2

하이젠 베르크 불확실성 원리의 원래 맥락은 물리학, 특히 문제의 결합 변수가 위치와 운동량 인 양자 역학이었다. 시간 / 주파수 분석에 국한되지 않습니다.

— user2718

@BZ, 합창단에게 설교하고 있습니다. 저는 수학적 양자 물리학 자입니다. 그러나 나는 당신의 의견의 요점이나 당신의 대답의 요점을 잘 보지 못합니다.

— Jazzmaniac

불확실성 원리는 이론적으로 결의의 한계를 설정하므로 결코 평등으로 쓰여지지 않습니다.

당신이 겪고있는 평등 관계는 특정 분석 상황과 분석 구현을위한 것입니다. 이 경우 컨텍스트는 신호 분석이므로 시간 / 주파수는 관심있는 켤레 변수이며 구현은 사용중인 특정 웨이블릿입니다.

평등 관계는 여러 분석 구현에서 해상도를 비교하는 방법을 제공합니다. 해결의 정의는 달라서는 안되지만 다를 수 있으므로 이러한 관계를 해석 할 때는주의를 기울여야합니다.

평등 관계는 두 가지를 정의한 후에 적절합니다. 1) 해상도의 수학적 의미. 2) 분석 방법 (이 경우 웨이블릿 선택).

— 사용자 2718
소스

더 깊이 파헤 치면 하이젠 베르크의 원칙은 해결에 관한 진술 이상의 것이됩니다. 그것은 대칭 적 비정형 기하학 (non-commutative geometry)이라 불리는 수학적 구조에서 시간 주파수 기하학과 깊이 연계되어있다. 그것은 시간-주파수 정보에 대한 정보 이론적 척도를 제공하고 정확하게 적분됩니다. 임의의 TF- 영역의 재구성을 위해 Shannon 정리를 일반화하는 데 사용할 수도 있습니다.

— Jazzmaniac

양자 역학에서, 불확실성 원리는 위치 x 및 운동량 p와 같은 상보 변수로 알려진 입자의 특정 물리적 성질 쌍이 동시에 알려질 수있는 정밀도에 대한 근본적인 한계를 주장하는 다양한 수학적 불평등입니다. 예를 들어, 1927 년에 Werner Heisenberg는 일부 입자의 위치가 더 정확하게 결정 될수록 그 운동량을 정확하게 알 수없고 그 반대도 가능하다고 언급했습니다. [Wikipedia-물리학에서 이것을 배웠고 분석 수업에서 다시 방문했습니다]

— user2718