분리 가능한 정수 2D 필터 계수를 분해하는 빠르고 효율적인 방법

주어진 정수 계수의 2D 커널을 정수 계수를 가진 두 개의 1D 커널로 분리 할 수 ​​있는지 여부를 신속하게 결정하고 싶습니다. 예 :

 2   3   2
 4   6   4
 2   3   2

분리 가능하다

 2   3   2

과

 1
 2
 1

분리성에 대한 실제 테스트는 정수 산술을 사용하여 매우 간단 해 보이지만 정수 계수를 사용하여 1D 필터로 분해하는 것이 더 어려운 문제로 판명되었습니다. 어려운 점은 행 또는 열 사이의 비율이 정수가 아닌 것일 수 있다는 사실에 있습니다. 예를 들어 위의 예에서 우리는 2, 1/2, 3/2 및 2/3의 비율을 가지고 있습니다.

SVD와 같은 헤비 듀티 접근법을 실제로 사용하고 싶지 않습니다 .a) 내 요구에 비해 계산 비용이 비교적 비싸고 (b) 정수 계수 를 결정하는 데 여전히 도움이되는 것은 아닙니다 .

어떤 아이디어?

추가 정보

계수는 양수, 음수 또는 0 일 수 있으며, 1D 벡터 중 하나 또는 둘 다의 합이 0 인 병리학 적 사례가있을 수 있습니다. 예 :

-1   2  -1
 0   0   0
 1  -2   1

분리 가능하다

 1  -2   1

과

-1
 0
 1

나는 @Phonon대답을 취하고 다소 수정하여 행 / 열 합계가 아닌 맨 위 행과 왼쪽 열에서 GCD 접근 방식을 사용합니다. 이것은 병리학 적 사례를 조금 더 잘 처리하는 것으로 보입니다. 맨 위 행 또는 왼쪽 열이 모두 0 인 경우에도 여전히 실패 할 수 있지만이 방법을 적용하기 전에 이러한 경우를 확인할 수 있습니다.

function [X, Y, valid] = separate(M)    % separate 2D kernel M into X and Y vectors 
  X = M(1, :);                          % init X = top row of M
  Y = M(:, 1);                          % init Y = left column of M
  nx = numel(X);                        % nx = no of columns in M
  ny = numel(Y);                        % ny = no of rows in M
  gx = X(1);                            % gx = GCD of top row
  for i = 2:nx
    gx = gcd(gx, X(i));
  end
  gy = Y(1);                            % gy = GCD of left column
  for i = 2:ny
    gy = gcd(gy, Y(i));
  end
  X = X / gx;                           % scale X by GCD of X
  Y = Y / gy;                           % scale Y by GCD of Y
  scale = M(1, 1) / (X(1) * Y(1));      % calculate scale factor
  X = X * scale;                        % apply scale factor to X
  valid = all(all((M == Y * X)));       % result valid if we get back our original M
end

에 많은 감사 @Phonon및 @Jason R이에 대한 원래의 아이디어.

알았다! MATLAB 코드를 게시하면 오늘 밤 또는 내일 설명이 게시됩니다.

% Two original arrays
N = 3;
range = 800;
a = round( range*(rand(N,1)-0.5) )
b = round( range*(rand(1,N)-0.5) )

% Create a matrix;
M = a*b;
N = size(M,1);

% Sanity check
disp([num2str(rank(M)) ' <- this should be 1!']);

% Sum across rows and columns
Sa = M * ones(N,1);
Sb = ones(1,N) * M;

% Get rid of zeros
SSa = Sa( Sa~=0 );
SSb = Sb( Sb~=0 );

if isempty(SSa) | isempty(SSb)
    break;
end

% Sizes of array without zeros
Na = numel(SSa);
Nb = numel(SSb);

% Find Greatest Common Divisor of Sa and Sb.
Ga = SSa(1);
Gb = SSb(1);

for l=2:Na
    Ga = gcd(Ga,SSa(l));
end

for l=2:Nb
    Gb = gcd(Gb,SSb(l));
end

%Divide by the greatest common divisor
Sa = Sa / Ga;
Sb = Sb / Gb;

%Scale one of the vectors
MM = Sa * Sb;
Sa = Sa * (MM(1) / M(1));

disp('Two arrays found:')
Sa
Sb
disp('Sa * Sb = ');
Sa*Sb
disp('Original = ');
M

어쩌면 나는 문제를 사소하게 만들고 있지만 아마도 당신이 할 수있는 것처럼 보입니다.

• $N$$M$$\mathbf{A}$$\mathbf{a_i}$$i = 0, 1, \ldots , N-1$

• $j > 0$

  • $\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$$j$$\mathbf{r_j}$
  • $\mathbf{r_j}$
  • $\mathbf{r_j}$$\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$$j$$0$$\mathbf{x}$
  • $\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$

• $\mathbf{x}$

• $\mathbf{x_{norm}}$ $$\mathbf{x_{scaled}} = K\mathbf{x_{norm}}, K = 1, 2, \ldots, M$$ $K$$M$

가장 우아한 방법은 아니지만 더 좋은 방법이있을 수 있지만 작동해야하고 구현하기가 매우 간단하며 적당한 크기의 행렬의 경우 비교적 빠릅니다.

$x \otimes y \otimes z$$A$$|A - x \otimes y \otimes z|$
$x\ y\ z$
$y$$z$$x$$x\ y\ z\ x\ y\ z\ ...$ 차례로.

( math.stackexchange의 대략적인 컨볼 루션 에서 분리 가능한 컨볼 루션 으로 볼 수 있습니다.)