1D 신호의 컨볼 루션 문제 해결

이 운동을 해결하는 데 어려움을 겪고 있습니다. 이 신호의 회선을 계산해야합니다.

y (t) = e^{- k t} u (t) \frac{\sin (\frac{π t}{10})}{(π t)}

$y(t)=e^{-kt}u(t)\frac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{({\pi}t)}$

여기서 는 헤비 사이드 함수입니다 $u(t)$

이 두 신호의 컨볼 루션은

Y (f) = X (f) \cdot W (f)

$Y(f)=X(f)\cdot W(f)$

여기서 는 첫 번째 신호의 푸리에 변환이고 는 두 번째 신호의 푸리에 변환입니다 $X(f)$ $W(f)$

의 푸리에 변환 은 $e^{-kt}u(t)$

X (f) = \frac{1}{k + j 2 π f}

$X(f)=\dfrac{1}{k+j2{\pi}f}$

와 최대한 동일한 두 번째 신호를 만들어야합니다 $\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

그래서 나는이 작업을 수행합니다 :

\frac{\sin (\frac{π t}{10})}{(\frac{π t}{10})} (\frac{1}{10})

$\dfrac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{1}{10}\right)}$ 이것은

(\frac{1}{10}) sinc (\frac{t}{10})

${\left(\dfrac{1}{10}\right)}\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

맞습니까?

— 매지
소스

나에게 맞는 것 같습니다. 하나의 경고-sinc에 대한 일부 정의는 매개 변수에 pi를 포함하고 일부는이를 가정합니다 (즉, sinc (t / 10)라고 작성). 당신이하고있는 일을 이해하는 한 어느 쪽이든 괜찮습니다.

— Jim Clay

또한 유의 푸리에 역변환 의 사용자가 추구하는 컨벌루션 결과이다. 시간 영역에서 컨벌루션과 주파수 영역에서 곱셈 사이의 이중성을 사용한다고해서 역변환이 어려운 경우 컨볼 루션 결과를 분석적으로 결정하는 데 반드시 도움이되는 것은 아닙니다.

Y (f)

$Y(f)$

— Jason R

비록 이것이 매우 늦은 답변이라는 것을 알고 있지만, 그럼에도 불구하고이 질문에 대한 답을 찾기 위해 노력할 것입니다. 또한이 투표에 대한 수는 많은 사람들이이 질문이 지역 사회에 일반적으로 관심이 있음을 시사하기 때문입니다.

질문에서 이미 제안했듯이 두 신호 와 를 정의합시다. $x(t)$ $w(t)$

x (t) = e^{- k t} u (t), k > 0 w (t) = \frac{\sin (π t / 10)}{π t}

$x(t)=e^{-kt}u(t),\quad k>0\\w(t)=\frac{\sin(\pi t/10)}{\pi t}$

컨벌루션 의 한 가지 가능한 해석은 지수 적으로 감쇠 된 신호 가 임펄스 응답 가진 이상적인 저역 통과 필터에 의해 필터링된다는 것입니다 . 문제에서 시간 영역에서의 컨벌루션이 주파수 영역에서의 곱셈에 해당한다는 것이 올바르게 지적되었습니다. 의 푸리에 적분은 쉽게 계산할 수 있습니다. $(x*w)(t)$ $x(t)$ $w(t)$ $x(t)$

X (j ω) = \int_{0}^{\infty} e^{- k t} e^{- j ω t} d t = \frac{1}{k + j ω}

$X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-kt}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{k+j\omega}$

의 푸리에 변환은 이상적인 저역 통과 필터이기 때문에 익숙해야합니다. 이 문제에서 Sinc 함수의 정의와 관련하여 약간의 혼란이있었습니다. Sinc 함수의 정의를 사용하지 않고 차단 주파수가 단일 이득 저역 통과 필터의 임펄스 응답을 간단히 기억하는 것이 좋습니다 . $w(t)$ $\omega_0=2\pi f_0$

\begin{matrix} (1) & h_{L P} (t) = \frac{\sin ω_{0} t}{π t} \end{matrix}

$h_{LP}(t)=\frac{\sin \omega_0 t}{\pi t}\tag{1}$

정의 (1)를 비교 , 우리는 볼 단지 컷오프 주파수를 가진 단일 이득 저역 통과 필터 인 : 여기서 주파수 영역에서 단계 함수 를 사용했습니다. $w(t)$ $w(t)$ $\omega_0=\pi/10$

W (j ω) = u (ω + ω_{0}) - u (ω - ω_{0})

$W(j\omega)=u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)$

u (ω)

$u(\omega)$

시간 함수 를 찾기 위해 의 역 푸리에 변환을 계산할 수 있습니다 . $y(t)=(x*w)(t)$ $Y(j\omega)=X(j\omega)W(j\omega)$

y (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (j ω) W (j ω) e^{j ω t} d ω = \frac{1}{2 π} \int_{- ω_{0}}^{ω_{0}} \frac{1}{k + j ω} e^{j ω t} d ω

$y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)W(j\omega)e^{j\omega t}d\omega= \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_0}^{\omega_0}\frac{1}{k+j\omega}e^{j\omega t}d\omega$

불행히도, 기본 기능을 사용하는이 적분의 폐쇄 형 솔루션은 없습니다. 지수 적분 또는 사인 및 코사인 적분 및 사용하여 수치 적으로 평가할 수 있습니다 . 따라서 운동의 목적은 실제로 회선을 계산하는 것이 아니라고 생각하지만 그 목적은 현재 진행중인 일에 대한 질적 설명 (이상적인 저역 통과 필터로 필터링 된 지수 신호)을 도출하는 것이 었습니다. $\text{Ei}(x)$ $\text{Si}(x)$ $\text{Ci}(x)$

그럼에도 불구하고 신호 살펴 보는 것이 유익하다고 생각했기 때문에 매개 변수 및 대해 수치 적으로 평가했습니다 . 다음 그림은 결과를 보여줍니다. $y(t)$ $k=0.05$ $\omega_0=\pi/10$ 여기에 이미지 설명을 입력하십시오

녹색 곡선은 입력 신호 이고 파란색 곡선은 필터링 된 신호 입니다. 이상적인 (비인 과적) 저역 통과 필터로 인해 에 대한 비인 과적) 리플에 주목하십시오 . 저역 통과 필터의 차단 주파수를 높이면 입력 신호의 왜곡이 작아집니다. 이것은 차단 주파수를 10 배 증가시킨 다음 그림에 표시되어 있습니다 (예 : 대신 ). $x(t)$ $y(t)$ $y(t)$ $t<0$ $\omega_0=\pi$ $\pi/10$

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

— 맷 L.
소스

아마도 더 나은 해석은 임펄스 응답이 감쇠 지수 인 물리적으로 실현 가능한 1 차 저역 통과 필터에 적용된 sinc 함수 입력일까요?

— Dilip Sarwate

그것은 또 다른 유효한 해석이지만 왜 더 나은가? 시스템은 실현 가능하지만 입력 신호는 불가능합니다. 이상적인 저역 통과 필터는 실현할 수없는 경우에도 종종 분석하고 유용한 목적으로 사용되는 표준 시스템입니다. 어쨌든, 운 좋게도 결과는 동일하게 유지됩니다 :)

— Matt L.