주파수 영역에서의 상호 상관에 대한 직관적 인 설명

상호 상관 정리에 따르면, 두 신호 사이의 상호 상관은 한 신호의 푸리에 변환 곱과 다른 신호의 푸리에 변환의 복소 공액을 곱한 것과 같습니다. 이 작업을 수행 한 후 제품 신호의 도난을 취하면 두 신호 간의 이동을 나타내는 피크가 나타납니다.

이것이 어떻게 작동하는지 이해할 수 없습니까? 두 신호 간의 이동을 나타내는 피크를 얻는 이유는 무엇입니까? 나는 http://mathworld.wolfram.com/Cross-CorrelationTheorem.html 에서 수학을 얻었 지만 이것이 직관적으로 무엇을 의미하는지 이해할 수는 없습니다. 누군가 설명을 제공하거나 올바른 문서를 알려주시겠습니까?

감사!

이 개념은 컨볼 루션 정리를 기반으로하며 , 두 신호 및 경우 푸리에 변환 및 의 곱은 컨벌루션의 푸리에 변환과 같습니다. 두 신호. 그건:$x(t)$$y(t)$$X(f)$$Y(f)$

$$\mathcal{F}\{x(t) * y(t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}\mathcal{F}\{y(t)\}$$

위의 Wikipedia 링크에서이 정리의 파생에 대해 자세히 읽을 수 있습니다. 이제 회선은 선형 시스템 자체에서 매우 중요한 작업이므로 속성에 대한 이론이 잘 개발되었습니다.

그러나 당신이 찾고있는 것은 와 사이 의 상호 상관 입니다. 핵심은 다음과 같습니다 . 입력 신호 중 하나가 공역 및 시간 역전 된 경우 상호 상관 적분은 컨볼 루션 적분과 같습니다 . 이를 통해 컨볼 루션 평가를 위해 개발 된 이론 (예 : 빠르게 계산하기위한 주파수 영역 기술)을 사용하여 상관 관계에 적용 할 수 있습니다.$x(t)$$y(t)$

귀하의 예에서는 다음을 계산하고 있습니다.

$$\mathcal{F}\{x(t)\}\left(\mathcal{F}\{y(t)\}\right)^*$$

푸리에 영역에서 복잡한 컨쥬 게이션은 시간 영역에서의 시간 반전과 같습니다 (이는 푸리에 변환의 정의에서 직접 발생 함). 따라서 위에서 주어진 첫 번째 방정식을 사용하여 다음과 같이 말할 수 있습니다.

$$\mathcal{F}\{x(t) * y^*(-t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}\left(\mathcal{F}\{y(t)\}\right)^*$$

이 방정식의 역 푸리에 변환을 취하면 남은 신호는 와 사이의 교차 상관 입니다.y ( t $x(t)$$y(t)$

% Matlab function for frequency domain cross correlation
function [Lag,C]=xcorrf(X,Y,L)
% X, Y ---> Input vectors 
% L --->  maximum lag (must be less than minimum of (length of X, Y)
% C ---> correlation vector
% Lag ---> lag times  
X=X(:);
Y=Y(:);
s1=size(X);
s2=size(Y);
D=min(s1(1,1),s2(1,1));
for i=1:L
    X1=ifft(fft(X(1:D-i,:)).*conj(fft(Y(i+1:D,1))));
    C(i,1)=X1(1,1);
end

C=flipud(C);
X1=ifft(fft(X(1:D,:)).*conj(fft(Y(1:D,1))));
C(L+1,1)=X1(1,1);
for i=1:L
    X1=ifft(fft(Y(1:D-i,:)).*conj(fft(X(i+1:D,1))));
    C(i+L+1,1)=X1(1,1);
end
Lag=-L:1:L;
end