이산 푸리에 변환 대칭

Lyons의 저서 인 디지털 신호 처리 이해에서 이산 푸리에 변환에 관한 장을 읽고 있었는데 대칭에 대한 마지막 단락을 이해할 수 없었습니다.

이 시점에서 언급 할 가치가있는 DFT의 추가 대칭 특성이 있습니다. 실제로 입력 인덱스가있는 실제 입력 함수의 DFT를 결정해야하는 경우가 있습니다.$n$양수 값과 음수 값 모두에 대해 정의됩니다. 실제 입력 함수가 짝수이면 은 항상 실제이며 짝수입니다. 즉, 실수 이면 은 일반적으로 0이 은 0입니다. 반대로 실제 입력 함수가 홀수 인 경우 이면 은 항상 0이고 은 일반적으로 0이 아닙니다.$X(m)$$x(n) = x(−n)$$X_{\textrm{real}}(m)$$X_{\textrm{imag}}(m)$$x(n) = −x(−n)$$X_{\textrm{real}}(m)$$X_{\textrm{imag}}(m)$

참고 :$X(m) = X_{\textrm{real}}(m) + jX_{\textrm{imag}}(m)$

• 첫째, "홀수"및 "짝수"란 무엇입니까? 입력 신호의 샘플 수인 것 같지만 두 번째 질문으로 이어집니다.
• 왜 홀수 실제 입력 기능과 실제 입력에도되는 함수 및 이유와 제로의 제로 일반적으로 0이 아닌가?$X_{\textrm{imag}}(m)$$X_{\textrm{real}}(m)$$X_{\textrm{imag}}(m)$

짝수 & 홀수는 주변의 대칭을 참조 $n = 0$.

심지어 의미 $x[n] = x[-n]$; 당신은 부분을 얻을 수 있습니다$n < 0$ 단순히 부분을 미러링하여 $n > 0$ ~에서 $n=0$ 선.

이상한 의미 $x[n] = -x[-n]$; 당신은 부분을 얻을 수 있습니다$n < 0$ 단순히 부분을 미러링하여 $n > 0$ ~에서 $n=0$ 일렬로 곱해 $-1$.

코사인 파는 짝수이고 사인파는 홀수입니다.

이것들은 모두 일반적인 대칭의 특별한 경우입니다.

한 도메인에서 실제 인 경우 다른 도메인에서 켤레 대칭입니다.

공액 대칭은 실수 부분이 고르고 허수 부분이 홀수임을 의미합니다. 대부분의 사람들은 켤레 대칭 스펙트럼으로서 실시간 도메인 신호를 알고 있지만, 다른 방법으로도 진행됩니다. 켤레 대칭 시간 도메인 신호에는 실제 값 스펙트럼이 있습니다.

Hilmar의 대답은 물론 완벽하게 맞습니다. 그러나 나는 Lyons가 OP가 인용 한 진술에서 언급하지 않은 몇 가지 점이 있다고 생각합니다 (또는 이전에 그것에 대해 이야기했고 OP가 인용 한 단락에서 자신을 반복하지 않기로 선택했습니다) .

이산 푸리에 변환 (DFT)은 일반적으로 시퀀스의 변환으로 설명됩니다 $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ 유한 한 길이의 $N$ 다른 순서로 $(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$ 길이의 $N$ 어디

$$\begin{align*} X[m] &= \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,\\ x[n] &= \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} X[m]\exp\left(\frac{j2\pi nm}{N}\right), ~ n = 0, 1, \ldots, N-1. \end{align*}$$ 그러나이 수식은 다음과 같은 경우에도 사용할 수 있습니다 $m, n$ 범위를 벗어났다 $[0, N-1]$ 우리가 그렇게한다면, 우리는$N$ DFT는 주기적 시퀀스 에서 변환으로 볼 수 있습니다$x[\cdot]$ 다른 주기적인 순서로$X[\cdot]$양방향으로 무한대로 확장되는 $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ 과 $(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$이 무한히 긴 시퀀스의 한주 기 일뿐 입니다. 우리는 주장한다$x[n+iN] = x[n]$ 과 $X[m+iN] = X[m]$ 모든 $m, n,$ 과 $i$.

물론 이것은 실제로 데이터를 다루는 방식이 아닙니다. 우리는 매우 긴 샘플 시퀀스를 가질 수 있으며 적절한 길이의 블록으로 나눕니다.$N$. 우리는 DFT를 계산합니다$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ 같이

$$X^{(0)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ 다음 청크의 DFT $(x[N], x[N+1], \ldots, x[2N-1])$ 같이 $$X^{(1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k+N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ 이전 청크의 DFT $(x[-N], x[-N+1], \ldots, x[-1])$ 같이 $$X^{(-1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k-N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ 그런 다음 데이터를 세분화 한 다양한 청크의 이러한 다양한 DFT로 재생합니다. 물론 데이터가 실제로주기와주기적인 경우$N$이러한 모든 DFT는 동일합니다.

이제 Lyons 가 말하면 입력 인덱스 n이 양수 값과 음수 값 모두에 대해 정의되는 경우 ... 주기적인 경우에 대해 말하고 (실제) 짝수 함수에 속성이 있다고 말합니다. $x[n] = x[-n]$이 속성은 모든 정수를 보유해야합니다.$n$. 주기 성도 적용되기 때문에$x[-1] = x[1]$ 그러나 $x[-1] = x[-1+N] = x[N-1]$마찬가지로 $x[-n] = x[n] = x[N-n]$. 즉, 실제 짝수 시퀀스 $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$DFT가 실제 짝수 시퀀스 인 경우 (Lyons에 의해 언급되고 Hilmar에 의해 매우 잘 설명되어 있음)는 반드시 형식입니다

$$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1]) = (x[0], x[1], x[2], x[3], \ldots, x[3], x[2], x[1])$$ 어느 것보다 $x[0]$) 회문 서열. 데이터를 길이가 긴 블록으로 분할하는 경우$N$ 각각의 블록의 DFT를 개별적으로 계산하는 단계를 포함하며, 이러한 개별 DFT는 DFT가이 팔린 드롬 특성을 갖는 블록이 아닌 한 전술 한 대칭 특성을 갖지 않을 수 있다.

짝수 및 홀수 함수 설명을 위해

짝수 : y 축에 대한 대칭 홀수 : 원점에 대한 대칭

수학적 세부 사항에 들어 가지 않고 실제 가치 함수의 DFT는 대칭입니다. 즉 결과 푸리에 함수는 0 주파수 성분에 대한 거울 이미지 인 실수와 허수 부분을 모두 갖습니다. 복잡한 기능의 DFT를 사용하는 경우에는 발생하지 않습니다.