이미지 처리에서 가우시안 필터가 저역 통과 필터로 사용되는 이유는 무엇입니까?

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1d 신호 처리에서 많은 유형의 저역 통과 필터가 사용됩니다. 그러나 가우시안 필터는 거의 사용되지 않습니다.

이미지 처리 응용 프로그램에서 왜 그렇게 인기가 있습니까? 이미지 '대역폭'이 일반적으로 잘 정의되어 있지 않기 때문에 이러한 필터는 기준을 최적화 한 결과입니까 아니면 임시 해결책 일 뿐입니 까?

image-processing

— 후막
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이미지 처리 응용 프로그램은 오디오 처리 응용 프로그램과 다릅니다. 많은 응용 프로그램이 눈에 맞게 조정되어 있기 때문입니다. 가우스 마스크는 광학 블러를 거의 완벽하게 시뮬레이션합니다 ( 점 확산 기능 참조 ). 예술적 제작을 지향하는 모든 이미지 처리 응용 프로그램에서 가우시안 필터는 기본적으로 흐리게 처리하는 데 사용됩니다.

가우시안 필터의 또 다른 중요한 정량적 속성은 모든 곳에서 음 이 아니라는 것 입니다. 이것은 대부분의 1D 신호가 약 0 ( )으로 양수 또는 음수 값을 가질 수 있기 때문에 중요 합니다. 이미지의 모든 값이 음이 아니라는 점에서 이미지가 다릅니다 ( ). 가우스 커널 (필터)과의 컨볼 루션은 음이 아닌 결과를 보장하므로 이러한 함수는 음이 아닌 값을 다른 음이 아닌 값 ( )에 매핑 합니다. 따라서 결과는 항상 다른 유효한 이미지입니다. $x \in \mathbb{R}$ $x \in \mathbb{R}^+$ $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$

일반적으로 이미지 처리의 주파수 제거는 1D 신호만큼 중요하지 않습니다. 예를 들어, 변조 방식에서 다른 반송파 주파수로 전송되는 다른 채널 등을 거부하려면 필터가 매우 정밀해야합니다. 이미지 처리 문제를 제한하는 것으로 생각할 수 없습니다.

— 포논
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가우시안 필터는 시간 영역에서의 지원이 주파수 영역에서의 지원과 동일한 특성을 갖기 때문에 이미지 처리에 사용됩니다. 이것은 가우시안이 자체 푸리에 변환 인 것에서 비롯된 것입니다.

이것의 의미는 무엇입니까? 필터의 지원이 두 도메인에서 동일하면 두 지원의 비율이 모두 1임을 의미합니다. 이는 가우시안 필터에 '최소 시간 대역폭 곱'이 있음을 의미합니다.

그래서 당신은 무엇을 말할 수 있습니까? 이미지 처리에서 중요한 작업 중 하나는 현저한 가장자리를 유지하면서 백색 노이즈를 제거하는 것입니다. 이것은 모순적인 작업 일 수 있습니다. 백색 잡음은 모든 주파수에 동일하게 존재하지만 가장자리는 고주파수 범위에 있습니다. (공간 신호의 급격한 변화). 필터링을 통한 기존 노이즈 제거에서는 신호가 저역 필터링되어 신호의 고주파 성분이 완전히 제거됩니다.

그러나 이미지에 고주파 성분으로 가장자리가있는 경우 기존 LPF를 사용하면 이미지가 제거되고 시각적으로 가장자리가 더 '더러워집니다'.

그렇다면 노이즈를 제거하고 고주파수 에지를 유지하려면 어떻게해야합니까? 가우스 커널을 입력하십시오. 가우시안의 푸리에 변환도 가우시안이기 때문에 가우시안 필터는 일부 통과 대역 주파수에서 모든 높은 주파수가 제거되는 날카로운 컷오프를 갖지 않습니다. 대신, 주파수가 증가함에 따라 우아하고 자연스러운 꼬리가 점점 낮아집니다. 이는 저역 통과 필터로 작동하지만 꼬리가 얼마나 빨리 붕괴되는지에 상응하는 고주파수 구성 요소를 허용 함을 의미합니다. 반면에, L-PF는 F- 도메인에서의 지원이 가우시안의 지원만큼 크지 않기 때문에 LPF가 더 높은 시간 대역폭 제품을 갖게됩니다.

이를 통해 노이즈 제거 및 에지 보존과 같은 두 가지 이점을 모두 누릴 수 있습니다.

— Spacey
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하나는 시간 / 길이로 측정되고 다른 하나는 Hz / 라디안으로 측정되므로 두 가지 지원을 직접 비교할 수 있는지 확실하지 않습니다. 그들의 형태 는 동일하지만, 범용 스케일링 속성은 여전히 유지됩니다.

— Phonon

최소 시간 대역폭 제품을 상기시켜 주셔서 감사합니다. 그러나 Phonon이 언급했듯이 공간 (~ 시간) 도메인 지원을 줄이면 대역폭이 증가합니다. 간단한 가우시안 필터를 사용하면 노이즈 억제와 에지 유지를 모두 수행 할 수있는 방법이 없습니다. 이것이 Perona & Malik이 이방성 필터링을 개발 한 이유입니다.

— nimrodm

@Phonon 내가 본 것처럼, 지원은 단순히 두 도메인에서 기능을 설명하는 0이 아닌 항목 수입니다. (따라서 1의 비율). 말하면, 시간-대역폭 곱은 시간 및 주파수에서 함수의 분산 곱으로 측정된다. 정규화가 저자와 어떻게 다른지, 나는 1/2 또는 1/4과 같은 것을 보았습니다.

— Spacey

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@nimrodm "반드시 공간 (~ 시간) 도메인 지원을 감소 시키면 대역폭을 증가시킨다."예,하다 경향 시간 - 주파수 역의 관계에 따른. (이것은 시간-주파수 불확실성이 나오는 곳입니다). 그러나 가우스 함수는이 제품을 완전히 최소화하는 클래스입니다. 시간과 주파수 사이의 반비례 관계를 고려할 때 두 도메인에서 모두 동일한 지원을하지 않는 한 그렇게 할 수있는 방법이 없습니다.

— Spacey

@nimrodm 이방성 확산에서, 내가 본 커널은 이미지의 구배에 의존하는 공분산 행렬이 있지만 여전히 가우스입니다. (비선형 방법 인 VS 가우스 평활화도 선형 임). 그러나 가우스는 그 특성으로 인해 여전히 사용됩니다.

— 우주

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당신은 이미 좋은 답변을 가지고,하지만 난 단지 그들이 있다는 것입니다 2D 가우시안 필터를 하나 개 더 유용한 특성, 추가 할 것입니다 분리 , 2 차원 필터는 두 개의 1D 필터로 분해 될 수있다 즉. MxN 분리 가능 필터는 M+N곱하기 추가 로 구현할 수있는 반면 분리 할 수 없는 MxN 필터에는 M*N곱하기 추가 가 필요하기 때문에 이는 더 큰 커널 크기에 중요한 성능 고려 사항이 될 수 있습니다 .

— 폴 R
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좋은 주장입니다. 2D 가우스 필터는 방사상 대칭 이며 여전히 분리 가능하므로 구현 복잡성이 크게 줄어 듭니다.

— nimrodm

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참고 로 DSP에 대한 과학자 및 엔지니어 안내서 는 24 장 에서이 속성에 대한 훌륭한 설명을 제공합니다 .

— Caleb Reister

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imagemagick 매뉴얼은 왜 sinc 함수로 필터링하면 가우시안이 그렇지 않은지 "반지"효과를 일으키는 이유에 대한 훌륭한 설명을 제공합니다. ( http://www.imagemagick.org/Usage/fourier/#blurring 및 http://www.imagemagick.org/Usage/fourier/#circle_spectrum ). 이미지에 가장자리 (불연속)가있는 경우 (대부분의 이미지가 수행하는) 모든 고주파수를 완전히 잘라 내면 공간 영역에 잔물결이 생깁니다. 또한 1 차원에서 sinc 함수를 사용하여 구형파를 필터링 할 때 울림이 발생합니다.

— 방황 논리
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이미 아름다운 답변이 있었지만 소금의 곡물을 다른 관점으로 추가 할 것입니다.

가장 추상적 인 수준의 필터링은 일부 원시 데이터에 사전 지식을 적용하는 것으로 간주 될 수 있습니다. 예를 들어, 일부 필터링 알고리즘을 적용하면 신호 대 잡음비에서 최적의 신호를 찾기 전에이를 적용해야합니다.

이미지의 경우 고전적인 우선 순위는 위치에 대한 값의 부드러움 (예 : 강도)입니다 (@Phonon에서 언급 한 포인트 스프레드 기능으로 볼 수 있음). 알려진 매끄러움 반경을 가진 다른 객체를 혼합 할 때 얻을 수있는 모양이므로 가우스 모양으로 모델링되는 경우가 많습니다 ( 중앙 한계 정리 라고 함 ). 이것은 이미지의 미분을 만들고 싶을 때 주로 유용합니다. 원시 신호 (미끄러운 출력을 생성 할 것)를 차별화하는 것이 아니라 매끄러운 이미지에서 수행해야합니다. 이것은 Gabor 필터 와 같은 웨이블릿과 같은 연산자를 적용하는 것과 같습니다 .

— 메 두즈
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