LTI 시스템이 새로운 주파수를 생성 할 수없는 이유는 무엇입니까?

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왜 는 LTI 시스템이 새로운 주파수를 생성 할 수 없다는 것을 의미합니까? $Y (\omega) = X(\omega)H(\omega)$
왜 시스템이 새로운 주파수를 생성한다면 LTI가 아닌가?

convolution time-frequency

— 사용자
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LTI 시스템 의 결정적인 특징 중 하나는 입력에 아직 존재하지 않는 새로운 주파수를 생성 할 수 없다는 것입니다. 이 문맥에서 주파수 는 무한 지속 기간 인 또는 나타내며 LTI의 고유 함수 라고도합니다. 시스템 (특히 복잡한 지수에만 해당) 및 CT 푸리에 변환은 주파수 도메인에서 또는 와 같은 주파수 영역의 임펄스 함수로 표현됩니다. $x(t)=e^{j\Omega_0 t}$ $\cos(\Omega_0 t)$ $X(\Omega) =2\pi \delta (\Omega - \Omega_0)$ $X(\Omega)=\pi \delta (\Omega - \Omega_0) + \pi \delta (\Omega + \Omega_0)$ 우연히.

이것이 왜 그런지 알 수있는 한 가지 방법 은 출력 의 CTFT, 를 관찰하는 것 입니다. 이는 잘 알려진 관계 시스템이 LTI 일 때만 (그리고 가 존재 한다는 사실 은 안정적 입니다) $Y(\omega)$ $y(t)$ $Y(\omega) = H(\omega)X(\omega)$ $H(e^{j \omega})$

(즉, 만 보유 할 때 , 임펄스 응답의 존재하고, 시스템이 LTI 경우에만 존재한다).

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ ⟷ Y (ω) = X (ω) H (ω),

$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \longleftrightarrow Y(\omega)=X(\omega)H(\omega),$

h (t)

$h(t)$

간단한 그래픽 플롯으로 안내하고 위의 곱셈 속성을 사용하여 약간의 생각 에서 출력 의 지원 ( 가 0이 아닌 주파수 세트)의 주파수 영역을 볼 수 있습니다. 는 LTI 시스템 의 입력 및 주파수 응답 의 지원 및 영역의 교차점 에 의해 제공됩니다 . $R_y$ $Y(\omega)$ $Y(\omega)$ $R_x$ $R_h$ $X(\omega)$ $H(\omega)$

R_{y} = R_{x} \cap R_{h}

$R_y = R_x \cap R_h$

그리고 대수를 설정하면 이면 와 입니다. 즉, 교차점은 항상 교차되는 점보다 적거나 같습니다. 따라서, 지원의 영역 의 지원보다 같거나 많아야 적을 수 . 따라서 출력에서 새로운 주파수가 관찰 되지 않습니다 . $A = B \cap C$ $A \subset B$ $A \subset C$ $Y(\omega)$ $X(\omega)$

이 특성은 LTI 시스템 이되기 위해 필요한 조건 이므로이를 보유 하지 않은 시스템은 LTI가 될 수 없습니다.

— 지방 32
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제공 한 전제에 따라 간단한 대수적 주장을 할 수 있습니다. 만약:

Y (ω) = X (ω) H (ω)

$Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)$

여기서 는 입력 신호의 스펙트럼이고 )는 시스템의 주파수 응답입니다 . 입력 신호에 일부 가 있으면 분명합니다. 그런 다음 됩니다. 0이 아닌 값을 생성하기 위해 곱할 수있는 요소 가 없습니다 . $X(\omega)$ $H(\omega$ $\omega$ $X(\omega) = 0$ $Y(\omega) = 0$ $H(\omega)$

그러나 LTI 시스템에 대해 위에서 시작한 전제의 진실성을 확립하는 데는 약간의 노력이 필요합니다. 그러나 이것이 사실이라고 가정하면 LTI 시스템이 새로운 주파수 성분을 출력에 도입 할 수 없다는 사실은 직접적으로 따릅니다.

— 제이슨 R
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충분히 잘 동작하는 신호의 경우 푸리에 변환은 되돌릴 수 없으며 FT와 그 역은 선형이라는 증거가 있습니다. 주파수가있는 모든 신호는 충분히 작동합니다.

— Marcus Müller

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왜 는 LTI 시스템이 새로운 주파수를 생성 할 수 없다는 것을 의미합니까? $Y(ω)=X(ω)H(ω)$

입력에 특정 주파수 가 없으면 입니다. 0은 곱하기 ID 므로 , 입니다. 따라서 주파수 는 출력 신호에 없습니다. $\omega_\text{abs}$ $X(\omega_\text{abs}) = 0$ $\forall x\in \mathbb{R},~ 0 \cdot x = 0$ $Y(\omega_\text{abs}) = 0$ $\omega_\text{abs}$

왜 시스템이 새로운 주파수를 생성한다면 LTI가 아닌가?

입력 값이 라고 가정 해 봅시다 . 그런 다음 시스템이 새로운 주파수를 생성 할 수 있다고 가정하면 출력 있습니다. 와 같은 상수 찾을 수 없으므로 시스템이 LTI가 아닙니다. $x(t) = \cos(t)$ $y(t) = \cos(2\cdot t)$ $c_1, c_2$ $y(t) = c_1 \cos(t - c_2)$

— 스캇
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c1뿐만 아니라 c2 만 사용하는 LTI를 확인하지 않습니까?

— 사용자

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나는 첫 번째 요점은 본질적으로 당신이 0을 곱하여 0이 아닌 것을 얻을 수 없다는 것입니다. 그것은 간결한 대답입니다.

— robert bristow-johnson 2012

c1은 선형성에, c2는 시간 편이에 사용됩니다. 모든 것을 1 시간 단위로 지연시키는 LTI 시스템을 가질 수 있습니다.

— Scott

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LTI 시스템은 순수 주파수에 의해 대각됩니다 . 사인 / 코사인은 선형 시스템의 고유 벡터입니다. 다시 말해, 임의의 0이 아닌 사인 또는 코사인 (또는 복 소형 시소 이드) 입력은 정확히 동일한 주파수의 사인 또는 코사인 출력을 갖지만 출력 진폭은 사라질 수 있습니다.

변경 될 수있는 유일한 것은 진폭 또는 위상입니다. 따라서 입력에 주어진 주파수를 가진 사인이 없으면 출력에서 해당 주파수에 대해 아무것도 얻지 못합니다.

두 번째 질문은 모순 또는 규칙에 의해 답변됩니다. 가 true이면 마찬가지 입니다. 시스템이 LTI 인 경우 새로운 주파수를 생성하지 않습니다. 시스템이 새로운 주파수를 생성하면 LTI가 아닙니다. $A\implies B$ $\overline{B}\implies \overline{A}$

— 로랑 듀발
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