누설 적분기는 저역 통과 필터와 같은 것입니까?

누수 적분기를 지배하는 방정식은 (적어도 Wikipedia에 따르면)

$\frac{d\mathcal{O}}{dt} + A\mathcal{O}(t) = \mathcal{I}(t)$.

연속 시간 누출 적분기는 시간 상수가 인 저역 통과 필터와 동일 하며 입력의 스케일링까지입니까?$A$

소위 누수 적분기는 피드백이있는 1 차 필터입니다. 입력이 있다고 가정하고 전달 함수를 찾으십시오.$x(t)$ 그리고 출력 $y(t)$:

$$\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t) = x(t)$$

$$\mathcal{L}\left\{\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{x(t)\right\}$$

어디 $\mathcal{L}$Laplace 변환의 적용을 나타냅니다 . 앞으로 나아가 다:

$$sY(s) + AY(s) = X(s)$$

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s + A}$$

(라플라스 변환의 속성을 활용하면 $\frac{dy(t)}{dt} \Leftrightarrow sY(s)$을 가정하여 $y(0) = 0$).

전송 기능이있는이 시스템 $H(s)$에 단일 극이 있습니다 $s = -A$. 주파수에서의 주파수 응답$\omega$ 함으로써 찾을 수 있습니다 $s=j\omega$:

$$H(j\omega) = \frac{1}{j\omega + A}$$

이 응답에 대한 대략적인 견해를 얻으려면 먼저 $\omega \to 0$:

$$\lim_{\omega \to 0} H(\omega) = \frac{1}{A}$$

따라서 시스템의 DC 게인은 피드백 계수 반비례 합니다. 다음으로 보자 .$A$$w \to \infty$

$$\lim_{\omega \to \infty} H(\omega) = 0$$

따라서 고주파수의 경우 시스템의 주파수 응답이 0이됩니다. 이것은 저역 통과 필터의 대략적인 프로토 타입을 따릅니다. 시간 상수와 관련하여 다른 질문에 대답하려면 시스템의 시간 도메인 응답을 확인하는 것이 좋습니다. 전달 함수를 역변환하여 임펄스 응답을 찾을 수 있습니다.

$$H(s) = \frac{1}{s+A} \Leftrightarrow e^{-At}u(t) = h(t)$$

여기서 는 헤비 사이드 단계 함수 입니다. 이것은 Laplace 변환 테이블 에서 흔히 볼 수있는 매우 일반적인 변환입니다 . 이 임펄스 응답은 지수 감쇠 기능으로, 일반적으로 다음 형식으로 작성됩니다.$u(t)$

$$h(t) = e^{-\frac{t}{\tau}}u(t)$$

여기서 는 함수의 시간 상수로 정의됩니다. 따라서 귀하의 예에서 시스템의 시간 상수는 입니다.$\tau$$\tau = \frac{1}{A}$

주파수 응답은 동일하지만 응용 프로그램이 다릅니다.

• 저역 통과 필터를 사용하면 신호가 통과 대역에 있습니다. 필터의 차단 주파수는 신호에 유지하려는 최고 주파수 보다 높게 설정 됩니다.
• 누수가 적 으면 신호가 저지대에있는 것입니다. 필터의 차단 주파수는 신호에서 가장 낮은 주파수 아래 로 설정 됩니다 .

또한 적분기는 항상 1 차이며, 저역 통과 필터는 임의의 순서 일 수 있습니다.