주파수 영역 제로 패딩-X [N / 2]의 특수 처리

주파수 영역에서 제로 패딩으로 짝수 개의 샘플 (예 : N = 8)로 주기적 신호를 보간한다고 가정합니다.

X=[A,B,C,D,E,F,G,H]
이제 DFT 를 16 개의 샘플로 채워서을 줍시다 Y. 모든 교과서 예제 및 온라인 튜토리얼 난에 삽입 0을 보았다 제공합니다 . ( 보간 된 신호입니다.)[Y₄...Y₁₁]
Y=[2A,2B,2C,2D,0,0,0,0,0,0,0,0,2E,2F,2G,2H]
y = idft(Y)

왜 대신 사용하지 Y=[2A,2B,2C,2D,E,0,0,0,0,0,0,0,E,2F,2G,2H]않습니까?

내가 알 수있는 한 내 수학 지식은 제한적입니다.

총 전력을 최소화합니다
이 경우 보장 x후 실제 가치가 그래서입니다y
yx필요에 따라 모든 샘플 포인트에서 여전히 교차 합니다 ( p어디 에서나 이것이 사실이라고 생각합니다 Y=[2A,2B,2C,2D,pE,0,0,0,0,0,0,0,(2-p)E,2F,2G,2H])

왜 이런 식으로 끝나지 않았습니까?

편집 : x반드시 실제 값 또는 대역 제한은 아닙니다.

dft interpolation zero-padding

— 지느러미
소스

"모든 교과서 예제와 온라인 자습서에서 0을 삽입하는 것을 보았습니다 ..."라고 쓴 경우, 일부 참조로 게시물을 업데이트 할 수 있습니까? x가 반드시 실제 값일 필요는 없으며 언급 한 첫 번째 구성이 일반적으로 역 DFT에 의해 실제 결과를 생성하지는 않는다는 점이 궁금하기 때문입니다.

— niaren

@niaren 여기에 하나의 예가 있습니다 : dspguru.com/dsp/howtos/…

— finnw

순서에 대한 것을주의 그것의 가치

실수 할 수는, 당신은 할 필요가

y

$y$

Y = [2 A, 2 B, 2 C, 2 D, E, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, E^{*}, 2 F, 2 G, 2 H]

$Y=[2A,2B,2C,2D,E,0,0,0,0,0,0,0,E^*,2F,2G,2H]$ (즉, 주파수 영역 벡터의 "음수 주파수"절반에 대해 E를 복제하는 경우이를 켤 필요가 있습니다. 시간 영역에서 실제 신호는 켤레 대칭 DFT를 갖습니다.

— Jason R

@Jason R, 입력 신호가 실수 인 경우 E도 마찬가지이므로 [2A, 2B, 2C, 2D, E, 0,0,0,0,0,0,0, E, 2F, 2G, 2H] 이 조건을 만족시킵니다. 입력 값이 실제 값이 아닌 경우 출력값을 실제 값으로 강제 할 필요는 없습니다.

— finnw

당신이 올바른지. 그것이 저녁에 너무 늦게 댓글을 작성하여 얻는 것입니다.

— Jason R

답변:

8 포인트 DFT에서 빈의 주파수를 살펴 보겠습니다.

는 2의 인자에 의해 보간 그래서 때 , 점의 주파수가된다또는.

\begin{matrix} ω_{A} = 0, \\ ω_{B} = π / 4, \\ ω_{C} = π / 2, \\ ω_{D} = 3 π / 4, \\ ω_{E} = π = - π (m o d 2 π), \\ ω_{F} = 5 π / 4 = - 3 π / 4 (m o d 2 π), \\ ω_{G} = 3 π / 2 = - π / 2 (m o d 2 π), \\ ω_{H} = 7 π / 4 = - π / 4 (m o d 2 π) \end{matrix}

$\begin{array}{c} \omega_A = 0,\\ \omega_B = \pi/4,\\ \omega_C = \pi/2,\\ \omega_D = 3\pi/4,\\ \omega_E = \pi = -\pi\ ({\tt mod}\ 2\pi),\\ \omega_F = 5\pi/4 = -3\pi/4\ ({\tt mod}\ 2\pi),\\ \omega_G = 3\pi/2 = -\pi/2\ ({\tt mod}\ 2\pi), \\ \omega_H = 7\pi/4 = -\pi/4\ ({\tt mod}\ 2\pi) \end{array}$

E

$E$

- π

$-\pi$

+ π

$+ \pi$

언뜻보기에 가 또는 와 관련된 빈에 넣어야 하는지 확실하지 않기 때문에 접근 방식의 문제가 무엇인지 알 수 없습니다 . $E$ $\pi$ $-\pi$

에 줄리어스 O. 스미스 III의 페이지 , 그는 조건을 말한다 :

더욱이, 우리는 요구 때 짝수 홀수가 그러한 제한을 필요로하지는 않지만. $x(N/2) = x(-N/2) = 0$ $N$

그리고 그의 예 는 문제를 피하는 홀수 입니다. $N$

그것이 필요한지 확실하지 않지만 Julius의 작업에 대한 전체 참조는 다음과 같습니다.

Smith, 오디오 응용 프로그램을 사용한 DFT (Discrete Fourier Transform)의 JO 수학, 2 판, http://ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/ , 2007 년 온라인 설명서, 2011 년 9 월 28 일에 액세스 됨.

— 피터 케이
소스

데이터를 보간하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 내 마음의 보간은 일부 데이터 포인트 사이에 선을 '그리기'를 의미합니다. 이것은 여러 가지 방법으로 수행 될 수 있습니다. DSP (특히 멀티 레이트 DSP)에 유용한 보간법 중 하나는 '대역 제한 보간'입니다. 당신이 구글을하면 많은 흥미롭고 유용한 명중을 얻을 수 있습니다. 당신이 제안하는 것은 대역 제한 보간이 아닙니다. '업 샘플링 된'x에는 원래 x에없는 주파수 성분이 있습니다.

편집 (주석에 너무 길다) :

시작하는 구성 사이에는 상당한 차이가 있습니다 $X=[A,B,C,D,E,F,G,H]$ 과 제공 한 참조의 예 .

실제 입력을 고려

$X=[A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*]$

풀 밴드 입력의 경우 2 배로 업 샘플링. 이 경우, 업 샘플링은 그 (인터리브 입력 먼저 재치 제로에 의해 수행 될 수있다 . 그 결과의 주파수 스펙트럼의 압축 된 버전을 포함하는 주파수 스펙트럼 신호이다 x ( 범위 ) 및 (양의 주파수 축만 고려) 에서 확장 된 이미지 x2가 업 샘플링 된 버전 인 경우 $x_0,0,x_1,0,...$ $0-\pi/2$ $\pi/2 - \pi$

$X2=[A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*,A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*]$

이상적인 경우 이미지를 제거하려면 차단 주파수가 인 이상적인 브릭 월 필터 가 필요합니다. 즉 (무한 입력의 경우) $\pi/2$

$y_n = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x2_k sinc(0.5n - k)$

실제로 브릭 월 필터는 현실적이지 않기 때문에 약간의 왜곡이 있습니다. 실용적인 필터는 입력의 주파수를 억제 / 제거하거나 이미지의 일부 주파수 성분을 업 샘플링 된 신호에 그대로 둘 수 있습니다. 또는 필터가 둘 사이를 절충 할 수 있습니다. 귀하의 주파수 도메인 구성에도이 절충안이 반영된 것 같습니다. 이 두 가지 예는 두 가지 선택을 나타냅니다.

$Y=[A,B,C,D,E,0,0,0,0,0,0,0,E^*,D^*,C^*,B^*]$

$Y=[A,B,C,D,0,0,0,0,0,0,0,0,0,D^*,C^*,B^*]$

참조 에서처럼 입력이 나이키 스트 주파수 아래로 대역 제한되면이 문제는 사라집니다.

$\rho$

$Y=[A,B,C,D,\rho,0,0,0,0,0,0,0,\rho^*,D^*,C^*,B^*]$

— 나이 아렌
소스

x

$x$

@leftaroundabout 원래 x는 대역이 제한되어 있습니다 (이 예에서는 나이 퀴 스트 주파수로). OP는 x를 2의 인자로 업 샘플링하려고합니다 (내 해석). x를 업 샘플링하는 한 가지 방법은 OP에 표시된 것처럼 주파수 응답에 0을 삽입하고 (E가없는 예, DSP 텍스트 북에 표시된 것) 역 FFT를 수행하는 것입니다. x에 (0)을 삽입하고 (저역 통과) 필터를 sinc에 의해 삽입하여 동일한 문제를 해결할 수 있다고 생각합니다. OP로 표시된대로 E를 삽입하면 업 샘플링 된 x는 원래 나이 퀴 스트 주파수로 대역 제한되지 않습니다. 이것은 일반적으로 바람직하지 않습니다 (왜곡입니다). 동의하십니까?

— niaren

인터리브되고 sinc (2를 곱한)와 함께 0을 삽입하는 것은 실제로 해당 시간 영역 작동이어야합니다. — 나는 그것이 왜곡이라고 생각하지 않습니다 : OP가 넣은 두 개의 저장소

E

$E$ 의 동일한 주파수를 나타냅니다.

\frac{π}{2} \sim \frac{- π}{2}

$\frac\pi2\sim\frac{-\pi}2$ .

— leftaroundabout

주파수 ± N / 2가 x에 있다고 가정합니다. 그렇지 않은 경우 (대역 제한 또는 기타로 인해) E는 0이므로 E (또는 2E)를 사용한 패딩과 0을 사용한 패딩 사이에는 차이가 없습니다.

— finnw

대역 제한 신호는 비 주기적 DFT 조리개 스펙트럼 컨텐츠, 특히 Fs / 2 근처 (그러나 그렇지는 않음)의 "스펙트럼 누출"로 인해 여전히 bin N / 2의 컨텐츠를 가질 수 있습니다.

— hotpaw2