다양한 업 샘플링 체계의 상대적인 장점은 무엇입니까?

최근에 제로 패딩을 통해 내부 업 샘플링을 수행하는 DSP 시스템이 발생했습니다. 0 차 홀드 홀드를 기대하면서 DC 신호가 DC 출력을 생성하지 않는다는 사실에 놀랐습니다. 내부 (더 낮은) 샘플링 주파수의 많은 고조파도 출력에 존재했습니다.

이것은 내 질문으로 이어진다 : 일반적으로 사용되는 업 샘플링 기술과 그들의 장점은 무엇인가? 왜 제로 패딩, 제로 오더 홀드 또는 1 차 홀드를 선택하고 다른 기술을 사용할 수 있습니까?

몇 가지 설명 :

시스템은 실시간이므로 업 샘플링 체계는 원인이되어야합니다.
업 샘플러 뒤에는 앤티 앨리어싱 필터도 지정할 수 있습니다.

resampling

— 니봇
소스

답변:

이 답변의 목적을 위해 Matlab의 용어를 사용 하고 입력 샘플 사이에 0 으로 삽입하는 프로세스로 "업 샘플링"을 정의 하고 별칭 을 제거하기 위해 업 샘플링 및 필터링을 결합한 프로세스로 "보간"을 정의 합니다. ( 보간 계수 임) 업 샘플링이 소개. 업 샘플링이 별칭을 도입하는 방법 / 이유에 대한 설명은 이 스레드 를 참조하십시오 . $m-1$ $m-1$ $m$

저역 통과 필터를 사용하여 앨리어스를 제거하고 보간을 완료 할 수 있다는 것을 이해하는 것이 중요합니다. 그러나 일부 필터는 보간에 사용될 때 이점이 있습니다. 아래에서는 보간 필터링의 다양한 특징에 대해 설명합니다.

전나무 필터

FIR 필터 보간은 업 샘플링과 별칭 필터링을 한 단계로 결합하기 때문에 효율적입니다. 이것은 예제에서 가장 쉽게 볼 수 있습니다. 데이터 시퀀스 있고이를 2 배로 보간 한다고 가정 합니다. 첫 번째 단계는 2 배로 업 샘플링하는 것입니다. 원래 데이터 시퀀스를 에서 변경합니다 행 . $x[n]$ $x_0, x_1, ... x_N$ $x_0, 0, x_1, 0, ... x_N$

이제 별칭을 제거하는 데 사용할 저역 통과 FIR 필터 가 있다고 가정 합니다. 업 샘플링 된 데이터 시퀀스를 필터와 컨볼 루션하면 필터 탭의 절반이 0이 아닌 샘플에 의해 자극되고 탭의 절반이 0 샘플에 해당하므로 비활성화됩니다. 필터가 데이터를 통과 할 때 자극 된 절반과 비활성 인 절반이 앞뒤로 뒤집 힙니다. 이 두 세트의 탭을 필터 단계라고도합니다. $h[n]$

업 샘플링을 제거하고 보간 FIR 필터를 사용하여 원본 데이터 시퀀스를 필터링하여 이와 동일한 효과를 암시 적으로 얻을 수 있습니다. 보간 FIR 필터는 모든 입력 샘플에 대해 출력을 생성합니다 . 모든 필터가 동일한 출력에 작동 입력 샘플들 (여기서, K는 필터 탭들의 수와 "올림"는 천장 함수이다). $m$ $m$ $ceil(K/m)$

이 예제가 어떻게 작동하는지 잘 보여주는 예가 있습니다. 6 개의 탭 필터가 있고 2 배로 보간한다고 가정합니다. 필터 탭은 [1 -2 4 4 -2 1]입니다. 문자 그대로 보간 한 다음 필터링하면 샘플과 필터 탭이 다음과 같이 정렬됩니다 (완전히 겹친 경우).

0 : 1 x_{2} : - 2 0 : 4 x_{1} : 4 0 : - 2 x_{0} : 1

$0 : 1\\ x_2 : -2 \\ 0 : 4 \\ x_1 : 4 \\ 0 : -2 \\ x_0 : 1 \\$ 다음 샘플 ...

x_{3} : 1 0 : - 2 x_{2} : 4 0 : 4 x_{1} : - 2 0 : 1

$x_3 : 1\\ 0 : -2 \\ x_2 : 4 \\ 0 : 4 \\ x_1 : -2 \\ 0 : 1 \\$ 다음 샘플 ...

0 : 1 x_{3} : - 2 0 : 4 x_{2} : 4 0 : - 2 x_{1} : 1

$0 : 1\\ x_3 : -2 \\ 0 : 4 \\ x_2 : 4 \\ 0 : -2 \\ x_1 : 1 \\$ 등등. 보간 필터의 요점은 실제로 0을 삽입하는 것을 건너 뛰고 대신 현재 사용하는 탭 세트를 대체합니다. 따라서 앞의 순서는 이제 다음과 같습니다.

x_{2} : - 2 x_{1} : 4 x_{0} : 1

$x_2 : -2 \\ x_1 : 4 \\ x_0 : 1 \\$

x_{3} : 1 x_{2} : 4 x_{1} : - 2

$x_3 : 1 \\ x_2 : 4 \\ x_1 : -2 \\$

x_{3} : - 2 x_{2} : 4 x_{1} : 1

$x_3 : -2 \\ x_2 : 4 \\ x_1 : 1 \\$

제로 오더 홀드

$m-1$ $x_0, x_1, ... x_N$ $x_0, x_0, x_1, x_1, ... x_N, x_N$

$m$

첫 주문 보류

$x_0, x_1, ... x_N$ $x_0, \frac{x_0+x_1}{2}, x_1, \frac{x_1+x_2}{2}, ... x_N$

$[\frac{1}{2} 1 \frac{1}{2}]$ $[\frac{1}{3} \frac{2}{3} 1 \frac{2}{3} \frac{1}{2}]$

삼각형 필터는 서로 관련된 두 개의 사각형 필터로, 주파수 영역에서 정사각형에 해당합니다. 이것은 0 차 홀드에서 명확한 단계이지만 여전히 크지 않습니다.

IIR 필터

보간 IIR 필터를 사용한 적이 없으므로 이에 대해 많이 말하지 않습니다. 필자는 일반 필터링에서와 동일한 인수가 적용된다고 가정합니다.-IIR 필터가 더 효율적이고 불안정하고 선형 위상이 없을 수 있습니다. FIR 필터처럼 업 샘플링 및 필터링 단계를 결합 할 수 있다고 생각하지 않습니다. 그러나 나는 그것에 대해 틀릴 수 있습니다.

FFT 보간

매우 일반적이지 않더라도 이것을 던질 것입니다 (물론, 제로 홀드도 공통적이라고 생각하지 않습니다). 이 스레드 는 리샘플링이 보간 및 데시 메이션 인 FFT 리샘플링에 대해 설명합니다.

높은 주문 보류

2 차 홀드 보간 기는 일반적으로 "2 차 보간 기"라고합니다. 비선형이므로 선형 인 FIR 필터로 구현할 수 없습니다. 나는 그들 뒤에 수학을 잘 이해하지 못하므로 그들의 성과에 대해서는 이야기하지 않을 것입니다. 그러나 나는 그것들이 신호 처리 외부에서 다소 일반적이라고 믿습니다.

더 높은 차수 (3 개 이상의) 방법도 존재합니다. 이를 "다항식 회귀"라고합니다.

편집하다:

CIC (Cascade Integrator Comb) 필터

나는 CIC 필터 를 언급하는 것을 잊었다 . CIC 필터는 두 가지 이유로 사용됩니다 : 더하기 / 빼기 만 사용합니다 (지금은 곱하기가 빠르고 저렴하지는 않지만), 실제로는 큰 샘플링 속도 변경을 매우 효율적으로 수행 할 수 있습니다. 단점은 본질적으로 계단식 사각형 필터를 효율적으로 구현하므로 위에서 설명한 사각형 필터의 모든 단점이 있다는 것입니다. CIC 보간기에는 거의 항상 CIC에 의해 발생 된 왜곡을 제거하기 위해 신호를 미리 분류하는 보상 FIR 필터가 있습니다. 샘플 레이트 변경이 충분히 크면 사전 왜곡 필터의 비용이 가치가 있습니다.

— 짐 클레이
소스

환상적인 설문 조사 Jim. 고 차고 분류 카테고리에 추가하기 위해 이것을 "다항식 회귀"라고도합니다. 그 점에서 특정 점 집합이 주어지면 선, 포물선, 입방, 고차 다항식이 가장 적합합니다. 일단 방정식을 가지면 중간 점이 무엇인지 쉽게 알 수 있습니다.

— Spacey

질문 : 1) FIR 필터 부분의 마지막 단락에 대해 완전히 명확하지 않습니다. 첫 번째 입력 샘플에 해당하는 두 번째 및 세 번째 출력은 필터 테이프 1, 4, 7, 그리고 2, 5, 8을 사용한다고 언급했습니다. 그러나 또한 모두 0입니다. 이 경우 샘플은 0입니까? 2)이 'FIR 보간 필터'는 m = 3 인 경우 [1 0 3.2 0 0 -2.1 0 0 1.1 0 0]과 같은 모양입니까? (숫자가 구성됩니다).

— Spacey

@Mohammad 나는 답변을 편집했습니다. 이게 도움이 되길 바란다. 다항식 회귀에 대한 정보에 감사드립니다.

— Jim Clay

@endolith 두 가지 이유는 복잡하다고 생각합니다. 필터 길이가 특정 숫자를 초과하면 계산이 의미가 있습니다 (그리고 그 숫자가 무엇인지 잘 모르겠습니다). FFT 접근 방식은 샘플 블록을 처리 할 때 매우 잘 수행되지만 샘플 스트림을 처리하는 경우 연속성을 유지하려면 오버랩 추가 또는 오버랩 저장을 수행해야합니다.

— Jim Clay

@endolith FFT 접근 방식의 한 가지 좋은 점은 대형 필터를 사용하는 데 비용이 거의 들지 않는다는 것입니다.

— Jim Clay

짐의 대답은 그것을 잘 다루고 있습니다. 모든 업 샘플링 방법은 동일한 기본 체계를 따릅니다.

샘플 사이에 제로 삽입 : 이로 인해 원래 스펙트럼이 주기적으로 반복되지만 원래 밴드의 스펙트럼은 그대로 유지됩니다.
모든 미러 스펙트럼을 제거하는 저역 통과 필터

방법의 주요 차이점은 저역 통과 필터링이 구현되는 방식입니다. 이상적인 업 샘플러는 이상적인 저역 통과 필터를 포함하지만 비실용적입니다. 주파수 영역의 문제를 고려하면 특정 요구 사항에 맞는 올바른 업 샘플링 알고리즘을 찾을 수 있습니다.

원래 대역에서 얼마나 많은 진폭 왜곡을 견딜 수 있습니까? 주파수에 의존 하는가?
원래 밴드의 페이즈에 관심이 있습니까? 위상을 유지해야하는 경우 선형 위상 FIR이 필요합니다. 최소 단계가 아닌 경우 "인과성"및 날카로운 발병을 유지하는 데 더 나은 작업을 수행합니다.
미러 이미지를 얼마나 억제해야합니까? 기본적으로 미러 이미지는베이스 밴드에서 추가 노이즈로 표시됩니다.

보간 오차는 신호 의존성이 높고 특정 요구 사항에 매핑하기가 거의 불가능하기 때문에 고차 비선형 보간 기 (스플라인, 은자, 라그랑주)는 일반적으로 제대로 작동하지 않습니다.

— 힐 마르
소스

"인과 관계"유지에있어 더 나은 직업을 가지고 있다는 것은 무엇을 의미합니까?

— nibot

샘플 앤 홀드 (즉, 샘플 값 반복)와 제로 패딩의 차이를 고려할 때 짐 앤 패딩이 제로 패딩에 의해 업 샘플링으로 해석되고이어서 임펄스 응답이 직사각형 펄스로 구성된 FIR 필터.

예를 들어, 2kHz에서 64kHz로 업 샘플링 할 때 (32의 계수), 각 2kHz 샘플링 쌍 사이에 31 개의 0을 삽입 한 다음 32 개의 1로 구성된 FIR 필터로 필터링하여이를 구현할 수 있습니다. 계수 0.

sinc $\tau=0$

이 sinc함수는 더 낮은 샘플링 주파수의 고조파에서 널 (null)을 갖는 것으로 밝혀졌습니다 . 2048Hz에서 65536Hz까지 업 샘플링을 적용하는 예제에서 샘플 앤 홀드 동작의 주파수 응답은 2048Hz, 4096Hz 등에서 null입니다.

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

이것으로부터, 원래의 샘플링 주파수의 고조파를 완전히 억제하는 보간 필터는 "샘플 앤 홀드"와 같은 것으로 결론을 내립니다. 이게 옳은 거니?

$1/f$

— 니봇
소스

문제는 널 (null)이 매우 좁아서 대부분의 신호가 널 밖에서 에너지를 갖게된다는 것입니다.

— Jim Clay

@JimClay, 좁은 널이 낮은 샘플링 속도의 고조파를 죽이는 데 완벽하지 않습니까? 이미지 주파수를 없애기 위해 약 1 kHz의 극을 몇 개 더 원할 것입니다. 내 질문을 확장 할 것 같습니다 : 어떻게 좋은 보간 필터를 설계합니까?

— nibot

통과 대역에 신호 대역폭이 포함되고 정지 대역에 업 샘플링시 도입되는 앨리어스가 포함 된 저역 통과 필터를 설계합니다. 신호의 3dB 포인트와 앨리어스 사이의 주파수가 전환 대역입니다. 귀하의 질문이 "저역 통과 필터를 어떻게 설계합니까?"인 경우 다른 질문으로 질문하여 논의 할 수 있습니다.

— Jim Clay

필자는 일반적으로 s- 도메인에 극점과 0을 명시 적으로 배치 한 다음 z- 도메인 필터로 변환하여 필터를 설계하는 방법을 이해합니다. 보간 필터에 특별한 트릭이 있는지 궁금합니다. 내가 제거하는 메시지는 실제로 어떤 트릭도 없다는 것입니다. 보간 필터는 다른 종류의 필터와 같으며 디자인은 다양한 고려 사항 (리플, 위상, 그룹 지연, 최소 정지 대역 감쇠, 계산 복잡성 등).

— nibot

반면에, FIR 필터 설계에 대해서는 아무것도 모른다.

— nibot