이 모아레 패턴은 왜 이런 모양입니까?

Matlab에서 Mobius 변형에 대한 GIF를 만들고 있었고 이상한 패턴이 나타나기 시작했습니다. 이 현상을 이해하기 위해 파일 형식 / 알고리즘에 대한 더 깊은 지식이 필요한지 확실하지 않지만 순수한 수학적인 설명이있을 수 있다고 생각했습니다. 이미지는 체커 보드와 같이 복합 평면을 채색 한 다음 복합 접합체의 역수를 취하여 반전시킵니다. 주어진 줌 가진 이미지의 수학 슈도 코드는 다음과 같습니다 . $k$

\begin{aligned} checkerboard : C \to {black, white} \\ checkerboard (z) := {\begin{cases} black & if ⌊ ℑ (z) ⌋ + ⌊ ℜ (z) ⌋ \equiv 0 \mod 2 \\ white & if ⌊ ℑ (z) ⌋ + ⌊ ℜ (z) ⌋ \equiv 1 \mod 2 \end{cases} \\ image = {z \in C : | ℜ (z) |, | ℑ (z) | \leq 1} \\ color : image \to {black, white} \\ color (z) := checkerboard (k / \bar{z}) \end{aligned}

$\begin{align} &\mbox{checkerboard}:\mathbb C \to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{checkerboard}(z):=\begin{cases} \mbox{black} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 0\mod 2\\ \mbox{white} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 1\mod 2 \end{cases}\\ &\mbox{image} = \{z\in\mathbb C:|\Re(z)|,|\Im(z)|\leq 1\}\\ &\mbox{color}:\mbox{image}\to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{color}(z):=\mbox{checkerboard}(k/\overline{z}) \end{align}$

다음은 $k=1$ , $k=50$ 및 $k=200$ 입니다. 각 그림의 해상도는 $1000\times 1000$ 입니다. 신호 처리에 대한 배경 지식은 없지만 배우고 싶어합니다!

편집하다:

더 구체적으로, 왜 모아레 패턴이 특정 지점에서 그림의 해상도와 '동기화'됩니까?
모아레 패턴을 예측할 수 있습니까?

image-processing aliasing pattern

— BH
소스

당신이보고있는 것은 앨리어싱입니다. 모니터에서 허용하는 것보다 더 높은 주파수의 구성 요소로 이미지를 묘사하려고하므로 별칭을 얻을 수 있습니다. en.wikipedia.org/wiki/Moiré_pattern

— MBaz

MBaz, 나는 앨리어싱 패턴이 왜 그렇게 보이는지에 대한 수학적 설명을 찾고 있습니다!

— BH

네, 모아레 패턴을 예측할 수 있습니다. 푸리에 변환에 익숙하십니까?

— Marcus Müller

이 상황에서 사용하기에는 충분하지 않습니다!

— BH

셀 수없는 무한 세트의 카디널리티를 가진 사람이 기능 분석 설명보다는 다소 추상적 인 관점에 관심이있을 수 있다는 추측에 근거하여 아래의 대략적인 수학적 설명이 도움이되기를 바랍니다.

— Marcus Müller

샘플링 정리 를 이해해야합니다 . 요컨대, 각 신호에는 시간 영역 (시간 신호 인 경우) 또는 공간 영역 (그림 인 경우)에있는 신호의 푸리에 변환 인 스펙트럼 ¹이 있습니다. 푸리에 변환의 값은 느리게 변화하는 것들을 기술하기 때문에 우리는 이것을 푸리에 변환을 기초의 변화로 해석 할 수있다. 고주파수 컨텐츠는 높은 위치의 푸리에 변환 값으로 표현되는 반면, 원래 (시간 또는 공간) 도메인 신호에서.

일반적으로 이러한 스펙트럼은 특정 지원을 가질 수 있습니다 . 지지는 스펙트럼이 0이 아닌 최소 간격입니다.

주파수를 재생하는 능력이 상기 지원보다 작은 간격으로 제한되는 관측 시스템을 사용하는 경우 (종종 무한대이며 시간 또는 공간이 유한 한 신호에 대해서는 항상 무한대 임) 해당 시스템의 원래 신호를 나타낼 수 없습니다.

이 경우 사진의 해상도가 고정되어 무한대 간격으로 불연속 지점에서 함수의 값을 평가한다는 사실이 결정됩니다. 그 간격의 역수는 (공간) 샘플링 속도입니다.

따라서 그림은 원래 신호를 나타낼 수 없습니다. 기본 함수를 픽셀에 매핑하는 것이 원래 함수와 완전히 동일하다는 것은 수학적으로 불가능합니다.이 경우 이산 점에서 평가로 표현할 수있는 전체 주파수 범위를 알 수 있기 때문입니다 ( "샘플링")은 샘플링 속도의 절반이므로 신호 스펙트럼의 일부에서 샘플링 속도의 절반보다 큰 문제가 발생 해야합니다 .

실제로 스펙트럼은 앨리어스를 얻습니다. 주파수 모든 스펙트럼 구성 요소는 만큼 "이동"됩니다. 이므로 . 실제로, 그것은 어떤 느낌이 들지 않아야하는 "구조"로 이어진다. $f_o \ge \frac{f_\text{sample}}{2}$ $n\cdot f_\text{sample},\, n\in \mathbb Z$ $|f_o-nf_\text{sample}| < \frac{f_\text{sample}}{2}$

초록색으로 칠한 그림에서 "큰"구조를 가져옵니다.

여기에는 저주파 내용이있는 것처럼 보이지만 실제로는 주파수에서 고주파수 컨텐츠 일뿐입니다 . 샘플링 속도의 정수배 $>\frac{f_\text{sample}}2$

그래서, 그래 , 당신은 그 푸리에 샘플링 속도 제공하는 대역폭 변환을 비교하여 샘플링 될 때 2 차원 신호에 일어나는 아티팩트를 예측할 수 있습니다.

¹ 이것은 연산자의 고유 특성을 설명하기 위해 선형 대수에서 사용되는 스펙트럼과 다를 수 있습니다.

— 마커스 ül 러
소스

네아 !! 이 자세한 답변에 감사드립니다. 각 녹색 비트의 동작이 약간 다르고 값에 따라 달라집니다 . 이 푸리에 변환 전체를 읽어야합니다!

n

$n$

— BH