간단한 신호의 FFT 플롯을 수행하면 다음과 같습니다.

t = 0:0.01:1 ;
N = max(size(t));
x = 1 + sin( 2*pi*t ) ;
y = abs( fft( x ) ) ;
stem( N*t, y )

1Hz 정현파 + DC

위의 FFT

첫 번째 빈의 숫자는 신호에 "DC의 양"이라는 것을 이해합니다.

y(1)  %DC
  > 101.0000

두 번째 빈의 숫자는 "전체 신호에 대한 1 사이클의 양"이어야합니다.

y(2)  %1 cycle in the N samples
  > 50.6665

그러나 101이 아닙니다! 약 50.5입니다.

fft 신호의 끝에 다른 크기의 항목이 있습니다.

y(101)
  > 50.2971

다시 50.5.

제 질문은 왜 FFT가 이렇게 미러링됩니까? 왜 y(2)101 인치가 아닌가? (물론, 101 개의 모든 빈은 1Hz 정현파를 가지고 있습니까?)

수행하는 것이 정확합니까?

mid = round( N/2 ) ;

% Prepend y(1), then add y(2:middle) with the mirror FLIPPED vector
% from y(middle+1:end)
z = [ y(1), y( 2:mid ) + fliplr( y(mid+1:end) ) ];

stem( z )

FFT 벡터의 후반 반전 및 추가

이제 오른쪽에 미러링 된 부분이 올바르게 추가되어 원하는 "FFT의 모든 101 빈에 1Hz 정현파가 포함되어 있습니다"라고 생각했습니다.

>> z(2)

ans =

  100.5943

실제 신호는 푸리에 변환의 특성으로 인해 푸리에 변환의 실수와 음의 절반에서 "미러링"됩니다. 푸리에 변환은 다음과 같이 정의됩니다.

$H(f) = \int h(t)e^{-j2\pi ft}dt$

기본적으로 신호는 고유 한 주파수를 갖는 복잡한 정현파와 관련이 있습니다. 복잡한 정현파는 어떻게 생겼습니까? 아래 그림은 하나의 복잡한 정현파를 보여줍니다.

"코르크 스크류"는 시간에 따라 회전하는 복잡한 정현파 인 반면, 그 뒤에 오는 두 개의 정현파는 복잡한 정현파의 추출 된 실수 성분과 허수 성분입니다. 영리한 독자는 실제 구성 요소와 가상 구성 요소가 정확히 동일하다는 것을 알 수 있으며, 90도 ( ) 만큼 서로 위상이 다릅니다 . 그것들은 위상이 90도이기 때문에 직교하며 그 주파수에서 신호의 어떤 구성 요소도 "잡을"수 있습니다.$\frac{\pi}{2}$

지수와 코사인 / 사인 간의 관계는 오일러의 공식에 의해 주어진다.

$e^{jx} = cos(x) + j*sin(x)$

이를 통해 다음과 같이 푸리에 변환을 수정할 수 있습니다.

$$H(f) = \int h(t)e^{-j2\pi ft}dt \\ = \int h(t)(cos(2\pi ft) - j*sin(2\pi ft))dt$$

음의 주파수에서 푸리에 변환은 다음과 같습니다.

$$H(-f) = \int h(t)(cos(2\pi (-f)t) - j*sin(2\pi (-f)t))dt \\ = \int h(t)(cos(2\pi ft) + j*sin(2\pi ft))dt$$

음의 주파수 버전과 양의 주파수 버전을 비교하면 사인이 반전 된 동안 코사인이 동일 함을 알 수 있습니다. 그들은 여전히 ​​서로 90도 위상이 다르기 때문에 (음수) 주파수에서 신호 성분을 포착 할 수 있습니다.

포지티브 및 네거티브 주파수 정현파는 모두 90도 위상이 같고 크기가 같기 때문에 동일한 방식으로 실제 신호에 응답합니다. 또는 응답 의 크기 는 동일하지만 상관 단계는 다릅니다.

편집 : 구체적으로, 음의 주파수 상관은 실제 신호에 대한 양의 주파수 상관의 결합입니다 (반전 허수 사인 성분으로 인한). 수학적 용어로 이것은 Dilip이 지적했듯이 다음과 같습니다.

$H(-f) = [H(f)]^*$

그것에 대해 생각하는 또 다른 방법 :

상상의 구성 요소는 바로 그 것입니다. 이 도구는 추가 평면을 사용하여 사물을 볼 수 있고 미분 방정식을 사용하는 것보다 훨씬 쉽지는 않지만 많은 디지털 (및 아날로그) 신호 처리를 가능하게합니다.

그러나 우리는 자연의 논리적 법칙을 어길 수 없으며, 가상의 내용으로 '로 '실제'를 할 수 없으므로 현실로 돌아 가기 전에 효과적으로 스스로를 취소해야합니다. 이것은 시간 기반 신호 (복잡한 주파수 영역)의 푸리에 변환에서 어떻게 보입니까? 허수 부가 상쇄하는 신호의 양과 음의 주파수 성분을 더하거나 합하면, 양의 요소와 음의 요소가 서로 공액된다는 것을 의미합니다. FT가 시간 신호에서 취해질 때, 각각의 '실제'부분이 크기, 양의 도메인의 절반, 음의 절반을 공유하는 이러한 켤레 신호가 존재하므로 사실상 켤레를 추가하면 상상의 내용과 실제 내용만을 제공합니다.$^\dagger$

$^\dagger$ 볼트 의 전압을 만들 수 없다는 의미 입니다. 분명히, 우리는 가상의 숫자를 사용하여 원 편파 EM 파와 같이 2 벡터 값을 갖는 실제 신호를 나타낼 수 있습니다.$5i$

FFT가 (또는 고속 푸리에 변환) 실제로 인 알고리즘 의 연산에 대한 이산 푸리에 변환 또는 DFT. 전형적인 구현 은 데이터 포인트의 수 이 복합 정수라는 사실을 이용함으로써 종래의 DFT 계산에 비해 속도를 향상시킨다 . 은 소수 이기 때문에 여기서는 그렇지 않다 . (FFT가 이 소수 인 경우에는 FFT가 존재하지만 MATLAB에서 구현되거나 구현되지 않을 수있는 다른 공식을 사용합니다). 실제로 많은 사람들 이 FFT를 통해 DFT 계산 속도를 높이기 위해 을 또는 형식 으로 선택합니다 .$N$$101$$N$$N$$2^k$$4^k$

미러링이 발생하는 이유에 대한 질문으로 hotpaw2는 근본적으로 그 이유를 설명 했으므로 다음은 세부 사항을 채우는 내용입니다. 데이터 포인트 의 시퀀스 의 는 시퀀스 정의된다 여기서 , 여기서 . 그것은 명백 할 것이다 그 이며, 일반적으로 A의 복소 순서에도 하는 실수 순서. 하지만 언제$\mathbf x = \bigr(x[0], x[1], x[2], \ldots, x[N-1]\bigr)$$N$$\mathbf X =\bigr(X[0], X[1], X[2], \ldots, X[N-1]\bigr)$

$$X[m] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{N}\right)\right)^n, m = 0, 1, \ldots, N-1$$ $j = \sqrt{-1}$$\mathbf X$$\mathbf x$$\mathbf x$ 는 실수 시퀀스이고 은 실수입니다. 또한 이 짝수 이면 이기 때문에 은 실수입니다. 그러나, 여부에 관계없이의 홀수, 심지어는 DFT 실제 값 시퀀스의 가 에르 미트 대칭 당신이 코멘트에 언급 된 것을 속성을. 우리는 모든 고정 ,$\displaystyle X[0]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n]$exp ( − j π ) = − 1 X [ $N$$\exp(-j\pi) = -1$ $$X\left[\frac{N}{2}\right] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{N/2}{N}\right)\right)^n = \sum_{n=0}^{N-1} x[n](-1)^n$$ $N$$\mathbf X$$\mathbf x$ $m$$1 \leq m \leq N-1$, 따라서 , . 특별한 경우로, 이 짝수 일 때 선택 하면 이므로 초기 결론 $$\begin{align*} X[m] &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{N}\right)\right)^n\\ X[N-m] &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{N-m}{N}\right)\right)^n\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi + j2\pi\frac{m}{N}\right)\right)^n\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(j2\pi\frac{m}{N}\right)\right)^n\\ &= \left(X[m]\right)^* \end{align*}$$ $1 \leq m \leq N-1$$X[N-m] = \left(X[m]\right)^*$$m = N/2$$N$$X[N/2] = \left(X[N/2]\right)^*$$X[N/2]$실수입니다. Hermitian 대칭 속성의 효과는

실제 값들의 시퀀스의 DFT 번째 빈은 가지고 동일한 크기 는 AS 번째 빈.$m$$(N-m)$

MATLABi 사람들은 MATLAB 배열의 수가 부터 시작한다는 사실을 설명하기 위해 이것을 번역해야 합니다.$1$

---

실제 데이터에 의존하여 직류의 값이 을 더한 약간 더 이상의 기간 주파수의 정현파의 Hz의가. 실제로, 당신이 얻는 것은 여기서 입니다. 따라서 샘플 중 첫 번째 샘플 과 마지막 샘플은 동일한 값을 갖습니다. 계산중인 DFT는 의해 주어집니다 과 사이의 불일치로 인해 DFT가 복잡해집니다. 값 $\mathbf x$$1$$1$

$$x[n] = 1 + \sin(2\pi (0.01n)), ~ 0 \leq n \leq 100$$ $x[0] = x[100] = 1$$101$ $$X[m] = \sum_{n=0}^{100} \left(1+\sin\left(2\pi \left(\frac{n}{100}\right)\right)\right)\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{101}\right)\right)^n$$ $100$$101$$X[m]$위한 작게 나마 제로이다. 반면에, 당신은 배열 조정했다 가정 이 당신의 MATLAB 프로그램을 에서 샘플을 촬영 그래서 당신이하는 것을 그러면 DFT는 당신의 DFT가 정확히 (또는 적어도 반올림 오류 내에 있음) 임을 알 수 있으며 역 DFT는 대해 그것을 줄 것입니다 , $2 \leq m \leq 99$t$100$$t=0, 0.01, 0.02, \ldots, 0.99$ $$x[n] = 1 + \sin(2\pi (0.01n)), ~ 0 \leq n \leq 99.$$ $$X[m] = \sum_{n=0}^{99} \left(1+\sin\left(2\pi \left(\frac{n}{100}\right)\right)\right)\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{100}\right)\right)^n,$$ $\mathbf X = (100, -50j, 0, 0, \ldots, 0, 50j)$$0 \leq n \leq 99$ $$\begin{align*} x[n] &= \frac{1}{100}\sum_{m=0}^{99}X[m]\left(\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right)\right)^m\\ &= \frac{1}{100}\left[100 - 50j\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right)^1 + 50j \left(\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right)\right)^{99}\right]\\ &= 1 + \frac{1}{2j}\left[\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right) - \exp\left(j2\pi \frac{-n}{100}\right)\right]\\ &= 1 + \sin(2\pi (0.01n)) \end{align*}$$ 이것은 정확히 당신이 시작한 것입니다.

입력 데이터가 실제 인 경우에만 FFT 결과가 켤레 대칭으로 미러링됩니다.

엄밀히 실제 입력 데이터의 경우, FFT 결과의 2 개의 켤레 미러 이미지는 복잡한 정현파의 허수 부분을 상쇄하므로 엄밀한 실제 정현파 (작은 수치 반올림 노이즈 제외)를 합산하여 엄격하게 표현합니다. 진짜 사인파.

FFT 결과가 켤레 미러링되지 않은 경우, 실제 값이 아닌 복잡한 값 (0이 아닌 허수 성분)을 가진 파형을 나타냅니다.