시스템의 "임펄스 응답"및 "주파수 응답"이란 무엇입니까?

누구나 간단한 영어로 주파수 응답과 임펄스 응답의 차이를 말할 수 있습니까?

임펄스 응답 및 주파수 응답 특성 유용한 두 가지 속성이다 선형시 불변 (LTI) 시스템. 주어진 입력 신호에 대해 LTI 시스템의 출력을 계산하는 두 가지 방법을 제공합니다. 연속 LTI 시스템은 일반적으로 다음과 같습니다.

일반적으로, 시스템 는 입력 신호 를 대응하는 출력 신호 매핑한다 . 이를 통과하는 신호에 매우 다른 변환을 적용 할 수있는 많은 유형의 LTI 시스템이 있습니다. 그러나 두 가지 주요 특성을 모두 공유합니다.$H$$x(t)$$y(t)$

• 이 시스템은 선형 이므로 중첩 의 원리를 따릅니다 . 간단히 말해서, 두 신호를 선형으로 결합하여 시스템에 입력하면 출력은 신호가 개별적으로 통과되었을 때의 출력과 동일한 선형 조합입니다. 즉, 만약 의 출력에 맵핑 와 의 출력에 맵핑 다음의 모든 값에 대해, 및 ,$x_1(t)$$y_1(t)$$x_2(t)$$y_2(t)$$a_1$$a_2$

$$H\{a_1 x_1(t) + a_2 x_2(t)\} = a_1 y_1(t) + a_2 y_2(t)$$

• 시스템은 시간에 따라 변하지 않으므로 특성 이 시간에 따라 변하지 않습니다. 입력 신호에 지연을 추가하면 출력에 동일한 지연을 추가하기 만하면됩니다. 입력 신호를 들면 의 출력 신호로 매핑 다음의 모든 값에 대해, ,$x(t)$$y(t)$$\tau$

$$H\{x(t - \tau)\} = y(t - \tau)$$

이산 시간 LTI 시스템의 속성은 동일합니다. 불연속 대 연속적인 차이로 인해 표기법이 달라 지지만 그것들은 비슷합니다. 이러한 특성으로 인해 임펄스 및 주파수 응답을 사용하여 시스템 작동을 간단하게 특성화 할 수 있습니다. 서로 다른 상황에서 사용할 수있는 시스템에 대한 두 가지 관점을 제공합니다.

임펄스 응답 :

임펄스 용어로 지칭된다 임펄스 응답은 일반적으로 짧은 지속 시간 영역 신호이다. 연속 시간 시스템의 경우 이것은 Dirac 델타 함수 이고, 이산 시간 시스템의 경우 크로네 커 델타 함수 이 일반적으로 사용됩니다. 시스템의 임펄스 응답 (종종 연속 시스템의 경우 또는 이산 시간 시스템의 경우 으로 표시됨)은 임펄스가 시스템 입력에 적용될 때 발생하는 출력 신호로 정의됩니다.$\delta(t)$ $\delta[n]$$h(t)$$h[n]$

이것이 왜 유용한가요? 이를 통해 시간 영역에서 시스템의 출력 결과를 예측할 수 있습니다. 위에서 언급 한 선형성 및시 불변 특성을 기억하십니까? 시스템의 입력 신호를 여러 구성 요소의 합으로 분해 할 수 있으면 출력은 해당 구성 요소 각각에 대한 시스템 출력의 합과 같습니다. 입력 신호를 스케일링되고 시간 이동 된 임펄스의 합으로 분해 할 수 있다면 어떨까요? 그러면 출력은 동일한 방식으로 스케일링되고 시간 이동 된 임펄스 응답의 카피 합과 같습니다.

불연속 시간 시스템의 경우, 신호 을 스케일 및 시간 이동 크로네 커 델타 함수의 합으로 쓸 수 있기 때문에 가능 합니다.$x[n]$

$$x[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] \delta[n - k]$$

합계의 각 항은 해당 시점 의 값으로 스케일링 된 임펄스 입니다. 우리가 통과하면 우리는 무엇을 얻을 것 산출하는 LTI 시스템을 통해 ? 간단 함 : 우리가 넣은 각 스케일 및 시간 지연 임펄스는 출력에서 ​​임펄스 응답의 스케일 및 시간 지연 사본을 생성합니다. 그건:$x[n]$$x[n]$$y[n]$

$$y[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] h[n-k]$$

여기서 은 시스템의 임펄스 응답입니다. 위의 방정식은 이산 시간 LTI 시스템에 대한 컨볼 루션 정리 입니다. 즉, LTI 시스템에 입력되는 모든 신호 경우, 시스템의 출력 은 입력 신호의 개별 컨벌루션 및 시스템의 임펄스 응답과 같습니다.$h[n]$$x[n]$$y[n]$

연속 시간 시스템의 경우 위와 같은 간단한 분해는 엄격한 수학적 의미로는 불가능하지만 (Dirac 델타의 너비와 높이는 0 임) 엔지니어링 수준에서는 문제를 보는 대략적이고 직관적 인 방법입니다. 이러한 시스템에 대해 유사한 컨볼 루션 정리가 유지됩니다.

$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$$

여기서 는 시스템의 임펄스 응답입니다. 이 관계를 도출하는 방법에는 여러 가지가 있습니다 (Dirac 델타 함수가 항상 시프트가 Hilbert 공간 의 직교 기반을 구성한다고 주장함으로써 위와 비슷한 주장을 할 수 있다고 생각합니다 . 델타 함수의 시프 팅 속성은 함수 를 기준으로 투영하므로 기준과 관련된 출력 (즉, 시간 이동 임펄스 응답)의 관점에서 시스템 출력을 표현할 수 있지만 면허를 가진 수학자는 아닙니다. 따로 남겨 두겠습니다). 위에서 언급 한 LTI 시스템 속성에만 의존하는 한 가지 방법이 여기 에 표시 됩니다 .$h(t)$$L^2$$L^2$

요약 : 불연속 및 연속 시간 시스템의 경우 임펄스 응답은 모든 입력 신호에 대해 이러한 시스템의 출력을 계산할 수 있기 때문에 유용합니다. 출력은 단순히 임펄스 응답 기능과 관련된 입력 신호입니다.

주파수 응답 :

LTI 시스템의 주파수 응답은 비슷한 기능을 제공합니다.이 기능을 사용하면 시스템이 입력 신호에 미치는 영향을 계산할 수 있습니다 (단, 주파수 영역 에 해당 효과가 표시되어 있음) . 푸리에 변환 의 정의를 상기하십시오 .

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$$

이 그림을 위해 더 중요한 것은 그 반대를보십시오.

$$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2 \pi ft} df$$

본질적으로,이 관계는 모든 시간 영역 신호 것을 말해 준다 수시 많은 복소 지수 함수의 선형 조합으로 분리 될 수있다 (착신 이산 시간 신호에 유사한 관계가 이산 시간 푸리에 변환 , 난 단지 단순 아래의 연속 시간의 경우 치료). 시간 영역 신호의 경우 의 푸리에 수율에게 해당 기능 변환 각각의 주파수에 대한 지정 , 상기 스케일링 팩터는 주파수에서 복소 지수에 적용$x(t)$$x(t)$$X(f)$$f$$f$전술 한 선형 조합에서. 이러한 스케일링 계수는 일반적으로 복소수입니다. 복소수를 보는 한 가지 방법은 진폭 / 위상 형식입니다.

$$X(f) = A(f) e^{j \phi(f)}$$

이 방법으로 보면, 는 많은 복잡한 지수 함수의 선형 조합으로 작성 될 수 있으며, 각 함수는 함수 의해 진폭이 스케일링되고 함수 의해 위상이 시프트됩니다 . 이것은 앞에서 설명한 LTI 시스템 속성과 잘 일치합니다. 입력 신호 를 복잡한 지수 함수 묶음의 선형 조합으로 분해 할 수 있으면 시스템 지수를 복잡한 지수 함수에 대한 선형 응답과 동일한 선형 조합으로 시스템의 출력을 쓸 수 있습니다.$x(t)$$A(f)$$\phi(f)$$x(t)$

지수 함수는 선형시 불변 시스템 의 고유 함수 입니다. 선형 대수학의 고유 벡터와 비슷한 개념은 지수 함수를 LTI 시스템에 넣으면 (일반적으로 복잡한) 값으로 스케일링 된 동일한 지수 함수를 얻습니다. 이것은 입력 한 지수 함수의 진폭과 위상을 변경하는 효과가 있습니다.

이것은 위에서 논의한 푸리에 변환 기반 분해와 결합 될 때 매우 유용합니다. 앞에서 언급했듯이 다양한 주파수에서 복잡한 지수 함수의 선형 조합으로 모든 신호 를 작성할 수 있습니다 . 를 LTI 시스템으로 전달하면 (그 지수가 시스템의 고유 함수이기 때문에) 출력에는 동일한 주파수에서 복잡한 지수가 포함되며 진폭 만 스케일링되고 위상이 이동됩니다. 주파수의 함수로서 지수의 진폭 및 위상에 대한 이러한 영향은 시스템의 주파수 응답 입니다. 즉, 푸리에 변환 가진 입력 신호가 시스템 로 전달되어 푸리에 변환 가진 출력을 생성하는 경우$x(t)$$x(t)$$X(f)$$H$$Y(f)$,

$$Y(f) = H(f) X(f) = A(f) e^{j \phi(f)} X(f)$$

요약하자면 , 시스템의 주파수 응답 와 넣은 신호의 푸리에 변환을 알면 시스템 출력의 푸리에 변환을 계산하는 것이 간단합니다. 그것은 단지 주파수 응답과 입력 신호 변환의 곱일뿐입니다. 스펙트럼 존재하는 각각의 복소수 지수 주파수에 대해 , 시스템은 진폭의 지수를 만큼 스케일링 하고 지수의 위상을 라디안 만큼 시프트시키는 효과를 갖는다 .$H(f)$$X(f)$$X(f)$$A(f)$$\phi(f)$

그들을 하나로 모으기 :

LTI 시스템의 임펄스 응답 및 주파수 응답은 밀접한 관련이 있습니다. 주파수 응답은 단순히 시스템 임펄스 응답의 푸리에 변환입니다 (이 관계가 유지되는 이유를 보려면 이 다른 질문에 대한 답변 참조 ). 연속 시스템의 경우 :

$$H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$$

따라서 시스템의 임펄스 응답 또는 주파수 응답이 주어지면 다른 것을 계산할 수 있습니다. 시스템의 동작을 완전히 특성화하기에 충분합니다. 임펄스 응답은 시간 영역에서 작동 할 때 유용하며 주파수 응답은 주파수 영역에서 동작을 분석 할 때 유용합니다.

무언가를 한 번 예리하게 쳐서 오실로스코프 나 펜 플로터와 같이 시간 영역에서 반응하는 방식을 플로팅합니다. 그것은 임펄스 응답에 가깝습니다.

톤 제너레이터를 얻고 다른 주파수로 무언가를 진동 시키십시오. 일부 공진 주파수가 증폭됩니다. 다른 사람들은 전혀 응답하지 않을 수 있습니다. 응답 크기 및 위상 대 입력 주파수를 플로팅합니다. 주파수 응답에 가깝습니다.

시스템이 시간이 지남에 따라 크게 변하지 않고 비선형 성이 작아 목적에 따라 무시할 수있는 작은 특정 클래스의 시스템의 경우 두 응답이 관련되며 Laplace 또는 Fourier 변환이 적용될 수 있습니다. 관계를 근사합니다.

임펄스 응답은 무한히 작은 지속 시간과 단위 에너지 (Dirac 펄스)의 단일 펄스에 대한 시스템의 응답입니다. 주파수 응답은 시스템에 의해 각 주파수가 얼마나 감쇠되거나 증폭되는지를 보여줍니다.

시스템의 주파수 응답은 주파수 영역으로 변환 된 임펄스 응답입니다. 임펄스 응답이있는 경우 FFT를 사용하여 주파수 응답을 찾고 역 FFT를 사용하여 주파수 응답에서 임펄스 응답으로 이동할 수 있습니다.

곧 우리는 시간 응답 과 주파수 응답 의 두 가지 기본 응답을 갖습니다 . 시간 응답은 시스템이 순간적인 방해로 작동하는 방식을 테스트하고 주파수 응답은 연속적인 방해로 시스템을 테스트합니다. 시간 응답에는 단계 응답, 램프 응답 및 임펄스 응답과 같은 것이 포함됩니다 . 주파수 응답은 정현파 응답을 포함합니다 .

Aalto University에는 Mat-2.4129 자료가 무료로 제공 됩니다 . 핀란드어는 대부분 Matlab 파일과 관련이있을 것입니다. 더 관심이 있으시면 아래 비디오에서 소개 비디오를 확인하십시오. 나는 그들이 스스로 도움이된다는 것을 알았습니다.

LTI 문제에 대한 기본적인 지식 만 가지고 있으므로 아래에서 다루겠습니다. 그러나 훨씬 더 많은 종류의 문제가 있습니다!

선형시 불변 문제에 대한 반응

LTI (linear time-invariant) 문제의 경우 입력 및 출력의 형식이 동일해야합니다. 정현파 입력에는 정현파 출력이 있고 단계 출력 결과와 마찬가지로 단계 출력이 있습니다. LTI 시스템이없는 경우 피드백 또는 제어 / 잡음 및 입력 상관이 있다고 가정하면 위의 모든 주장이 잘못되었을 수 있습니다. LTI를 사용하면 위상 변이와 진폭 변경이라는 두 가지 유형의 변경이 있지만 주파수는 동일하게 유지됩니다. 비 상관 가정을 사용하여 일부 가정을 어기면 입력과 출력의 형식이 매우 다를 수 있습니다.

시스템이 LTI인지 여부를 조사해야하는 경우 Wiener-Hopf 방정식 및 상관 분석과 같은 도구를 사용할 수 있습니다. Wiener-Hopf 방정식은 시끄러운 시스템과 함께 사용됩니다. 결과를 검증하고 구내를 검증하는 것이 중요합니다. 그렇지 않으면 다른 반응으로 실수를 저지르기 쉽습니다. 시끄러운 시스템으로 임펄스 응답을 결정하는 방법에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하십시오 .

참고 문헌

1. LTI에 관한 Wikipedia 기사는 여기

2. 여기 와 여기 에 다른 응답에 대한 아주 좋은 소개 비디오 -아래 몇 가지 핵심 사항.