FFT 시간 도메인 평균 대 주파수 빈 평균

생리 학적 데이터에 대한 여러 번의 시도가 있습니다. 특정 주파수에서 전력 (진폭)을 분석하기 위해 주파수 기반 분석을 수행하고 있습니다. 동일한 길이의 여러 시행을 평균 한 다음 각 시행에 대해 평균 신호의 단일 FFT 대 FFT를 계산 한 다음 주파수 빈을 평균화합니까? 실제로 이것은 사실이 아닌 것을 찾는 메신저입니다.

구체적으로, 신호는 자연스럽게 1 / f 성분이 강하며 각 개별 시행의 FFT를 계산 한 다음 각 주파수 빈의 진폭 (실제 부분)을 평균하면 강조됩니다. 두 사람이 동등한가요? 일을하는 올바른 방법이 있습니까? 또는 시간 영역 평균화와 주파수 빈 평균화 사이에서 어떤 원칙적인 조건을 선택해야합니까?

명확히하겠습니다.

• 푸리에 변환은 신호의 히스토그램을 나타내지 않습니다 . 푸리에 변환은 신호를 시간 영역 (복합 함수)에서 주파수 영역 (또 다른 복잡한 함수)으로 가져 오는 선형 변환입니다. 복잡한 함수를 다른 복잡한 함수로 가져갑니다.
• 푸리에 변환 은 위의 포스터가 지적한 것처럼 선형입니다.
• 위에서 지적한대로 샘플의 단계가 중요합니다. 평가판 데이터의 위상이 다른 경우 푸리에 변환을 수행하기 전에 평균을 내고 싶지 않지만 푸리에 변환 후 평균을 내고 싶지는 않습니다. 푸리에 변환과 규범을 평균화하려고합니다. 나는 정확히 무엇을해야하는지 아래에서 자세히 설명 할 것이다.

여기서 중요한 문제는 질문이 잘못되었다는 것입니다. "평균화하기 전 또는 평균화 한 후에 푸리에 변환을 취해서는 안됩니다". 푸리에 변환의 선형성으로 인해 차이가 없기 때문입니다.

올바른 질문은 "평균화하기 전 또는 평균화 한 후 푸리에 변환의 진폭을 취해야 하는가"입니다. 이 질문에 대한 답은 이전입니다.

자세한 내용은 다음과 같습니다.

샘플링 된 데이터가 다음 시퀀스로 표시된다고 가정하십시오.

$d_1=d_1[n_1],d_1[n_2],...d_1[n_N]$

$d_2=d_2[n_1],d_2[n_2],...d_2[n_N]$

$d_3=d_3[n_1],d_3[n_2],...d_3[n_N]$

...

$d_M=d_M[n_1],d_M[n_2],...d_M[n_N]$

여기서 은 M 시행의 데이터이고 은 샘플링 된 시점입니다.$d_1,...d_M$$n_1,...n_N$

$F_1 = \sum_{j=1}^M{|\mathcal{F}\{d_j\}|} \neq |\mathcal{F}\{\sum_{j=1}^M{d_j}\}| = F_2$

변환 이 선형 인 반면아니다.$\mathcal{F}$$|\mathcal{F}|$

또한, 는 모든 대해 실제 이지만 는 아니지만입니다.$d_j[n_i]$$i,j$$\mathcal{F}\{d_j\}$$|\mathcal{F}\{d_j\}|$

해야 할 일에 대해, FFT를 통해 개별 시행의 푸리에 변환을 수행하여 개별 시행의 진폭을 구하고 평균을 구해야합니다.

마지막으로 는 무엇입니까 ? 는 "자연"신호 (일반적으로 사람들이 이미지를 생각 함)의 주파수 스펙트럼에 대한 단기입니다.$1/f$$1/f$

사람들이 성분 이 크다고 말하면 주파수의 함수로서의 진폭은 와 같습니다 . 완전히 손을 흔든다. 아마도 생물 학자에게서 온 것일 것이다. : p$1/f$$1/f$

의 역 푸리에 변환은 부호 함수이지만 쓸모가 없습니다. 허구의 부호 기능입니다! 실수 함수는 대칭 푸리에 변환을 생성합니다.$1/f$

실제로 스펙트럼이 이면 신호에 대해 알려주지 만 신호를 복구 할 수는 없습니다. 당신이 아는 것은. 모든 위상 정보가 사라지기 때문에 를 고유하게 결정할 수 없으며 신호의 구조가 위상에 크게 의존 한다는 것을 알고 있습니다.$1/f$$|\mathcal{F}\{x(t)\}| = |1/f|$$x(t)$

는 무엇을 말합니까? 단순히 저주파와 고주파가 많이 포함되어 있습니다.$1/f$

중요한 질문과 마찬가지로 평균화는 무엇을 구매합니까? 결과를 해석하는 방법이 더 중요합니까? 더 심도있는 논의를 위해 내일 조정하십시오 : p

첫째, FFT는 알고리즘입니다. 이 변환을 푸리에 변환이라고합니다! 신호의 히스토그램을 나타냅니다. 별개의 경우, 주파수 영역에서 높은 판독 값은 해당 주파수에서 많은 에너지를 의미합니다.

위상 정보로 인해 데이터가 크게 변경 될 수 있으므로 FFT 이전의 데이터를 평균화해서는 안됩니다.

순수한 코사인으로 구성된 2 개의 샘플을 상상해보십시오. 현실에서는이 코사인을 정확히 동일한 시작점에서 캡처하지 않습니다. 하나의 코사인은 다른 것으로 회귀 이동합니다 (또는 둘 다 시작에 대해 다른 변화가 있습니다. 수학적으로 이것은 y1 = cos (wt-A) y2 = cos (wt-B)라고 말하며 여기서 A & B는 이동입니다. 약간의 수학으로 y2-y1 = 0이되도록이 값을 선택할 수 있습니다. 평균 0은 제로이며 원하는 것은 아닙니다. 이것은 위상 문제입니다.

스펙트럼 전체에서 평균을 내야하는 평균 스펙트럼을 찾는 것이 목표라면 신호를 평균하지 마십시오!

내가 완전히 기본이 아니거나 귀하의 질문을 오해하지 않는 한, 그 대답은 그렇습니다 .

이를 보여주기 위해 몇 가지 변수를 정의하겠습니다.

• $x_{n}[\ell]$ : 시간 평가판 시간 도메인 샘플$\ell^{th}$$n$
• $X_{k}[\ell]$ : 주파수 평가판 주파수 도메인 샘플$\ell^{th}$$k$

시간 영역에서 "평균"신호는 됩니다. DFT를 복용하면$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} x_{n}[\ell]$

$\sum_{n=0}^{N-1} \frac{1}{L} \sum_{\ell}^{L} x_{n}[\ell] e^{-i 2 \pi k n / N}$ .

요약 순서를 바꾸면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} \sum_{n=0}^{N-1} x_{n}[\ell] e^{-i 2 \pi k n / N},$

그러나 이것은

$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} X_{k}[l]$

이는 각 종족의 DFT를 평균화하는 것과 같습니다. 이것이 우리가 보여주고 싶었던 것입니다.