필터는 어떻게 그룹 지연을 없앨 수 있습니까?

1 차 저역 통과 필터의 통과 대역을 통해 웨이브 패킷을 넣으면 필터의 그룹 지연에 의해 지연되고 동일한 진폭을 유지합니다.

동일한 컷오프 주파수를 가진 보완적인 1 차 고역 통과 필터를 통해 동일한 웨이브 패킷을 넣으면 그룹 지연 곡선은 동일하므로 패킷의 지연은 동일하지만 게인은 훨씬 낮아서 무시하고 지연 될 수 있습니다.

고역 통과 필터의 출력이 매우 작기 때문에 (오디오 크로스 오버에서와 같이)이 두 필터의 출력을 합하면 저역 통과 필터의 출력과 무시할 정도로 다른 것으로 예상됩니다. 큰 지연된 신호 + 매우 작음 지연된 신호 = 큰 지연된 신호.

그러나 필터 응답을 합하면 진폭은 어디에서나 0 dB이고 위상은 어디에서나 0이므로 그룹 지연은 0이되므로 지연없이 변경없이 웨이브 패킷이 나옵니다. 이것이 어떻게 가능한지 이해하지 못합니다. 필터에 항상 지연이 발생하지 않습니까? 긍정적 인 그룹 지연을 갖는 필터는 특히 정지 대역에서 발생하는 경우 다른 채널로 인한 지연을 어떻게 취소 할 수 있습니까?

내가 여기서 오해하고있는 부분은 무엇입니까?

선형 위상을 가진 가장 잘 알려진 크로스 오버 유형은 1 차 비 반전 크로스 오버입니다. ... 1 차 크로스 오버는 출력이 정상적으로 합산 될 때 최소 위상입니다. 0 °에서 플랫 위상 플롯을 갖습니다. - 액티브 크로스 오버 디자인

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여기서 출력을 합산 한 결과 0 ° 위상 편이가 발생합니다. 즉, 1 차 크로스 오버의 합산 된 진폭 및 위상 편이는 와이어 조각과 같습니다. - 의 Linkwitz-Riley의 크로스 오버 : 뇌관 : 1 차 크로스 오버 네트워크

(파란색) 저역 통과는 예상대로 펄스를 지연하는 방법을 실제 펄스 쇼에서 테스트하고, (녹색) 하이 패스는 원본 (적색) 펄스를 생성하기 위해 함께 결합 할 수있는 방법하지만 어떻게 고역 통과 펄스가 발생 하기 전에 는 IF 원래 고역 통과 필터는 원인이 있으며 긍정적 인 그룹 지연이 있습니까? 직관은 저를 실패하고 있습니다.

그것은 않습니다 내가 상상으로 하이 패스 출력으로 무시할 아니라고 쇼를하고 지연은 내가 상상했던 것보다 더 무시할 수, 당신은 주위의 캐리어 주파수를 이동,이 두 가지 특성이 비례 방식으로 변경 (작은 지연은 낮은 진폭 하이 패스 출력을 필요로 수정). 그러나 나는 아직도 그것을 정말로 이해하지 못한다.

"단일화로의 재건"에는 몇 가지 흥미로운 측면이 있습니다. 첫째, 두 필터를 결합하는 두 가지 방법이 있습니다 : 병렬 및 직렬. 병렬 토폴로지의 경우 쌍이 하나가되도록 무료 필터를 항상 찾을 수 있습니다. 실제로 충분히 쉽습니다. 간단히$\tilde{H}(\omega) = 1-H(\omega)$. 시간 영역에서 이는 무료 필터의 임펄스 응답이 단순히 첫 번째 샘플에 1이 추가 된 원래 임펄스 응답의 음수임을 의미합니다. 따라서 모든 "반지"는 취소됩니다. 이제이 무료 필터의 모양이 항상 예상되는 것은 아닙니다. 1 차 저역 통과의 경우 실제로 1 차 고역 통과이지만 고차 필터의 경우 차단 영역에서 오버 / 언더 스윙을하는 경향이 있습니다. 그러나 항상 안정적인 인과 필터로 존재합니다.

시리즈 (또는 계단식) "단일 재구성"은 좀 더 복잡합니다. 분명히 필터는 서로의 역수 여야합니다. 즉$\tilde{H}(\omega) = \frac{1}{H(\omega)}$. 일반적으로 이것은 모든 최소 위상 필터에 대해 수행 될 수 있습니다. 최소 위상 필터의 역수도 최소 위상이며 인과 적이며 안정적입니다.

따라서이 경우 그룹 지연을 해석하는 방법에 대한 질문이 남습니다. 캐스케이드 케이스는 실제로 더 흥미 롭습니다. 필터는 서로 역이기 때문에 하나의 위상 및 그룹 지연은 다른 하나의 음입니다. 따라서 주파수에서 한 필터는 양의 그룹 지연을 가지며 다른 필터는 음의 그룹 지연을 갖습니다. 쉬운 예는 + 6dB의 이득을 가진 낮은 선반과 6dB의 절단을 가진 낮은 선반입니다. 따라서 부정적인 그룹 지연은 매우 실제적이며 인과 관계를 위반하지 않습니다. 실제로, 이들은 상당히 "평평하지 않은"필터 영역에 나타나므로 "봉투 지연"에 대한 전통적인 해석은 상당한 양의 진폭 왜곡이 있기 때문에 적용되지 않습니다.

Google이 "음수 그룹 지연"인 경우 주제를 다루는 몇 가지 IEEE 기사를 찾을 수 있습니다.

이 문제에서 그룹 지연의 잘못된 적용이나 물리 또는 인과 관계의 위반은 없습니다. 주파수에 대한 위상의 음의 도함수로서 그룹 지연의 정의는 여전히 각 필터 자체가 주파수에 대해 일정하지 않은 양의 시간 지연을 갖는다는 점에서 여전히 유효합니다. 세부 사항은 필터를 병렬 또는 직렬로 연결할 때 어떤 일이 발생하는지 보여줍니다.

크로스 오버 필터의이 예에서, 두 필터는 결과가 0 그룹 지연을 갖는 방법을 매우 직관적으로 보여주는 결과를 얻기 위해 명백히 병렬입니다. 두 필터는 무료 저역 통과 및 고역 통과입니다. 병렬로 연결될 때 필터 중 어느 것도 존재하지 않는 것처럼 작동합니다 (올 패스, 지연이 0 임). 이러한 필터가 직렬로 연결된 경우 예상 지연과 함께 크로스 오버에서 대역 통과가 발생합니다. 고역 통과는 저주파를 감쇠시키고 저역 통과는 고주파를 감쇠 시키며, 교차시 두 신호 모두 신호의 -3dB를 통과하여 교차점에서 0.5의 크기와 위상 = 0 °가됩니다. :$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

아래의 다이어그램과 같이 주파수 응답과 함께 병렬 및 주파수의 두 선형 시스템의 일반적인 경우를 고려하십시오. 계수와 지수는 표현을 간단하고 명확하게 유지하기 위해 생략 한 빈도 함수입니다.$A_1 e^{j\phi_1}$ 대표 $A_1(\omega)e^{j\phi_1(\omega)}$ 두 가지 표현은 고역 통과 및 저역 통과 시스템에 대한 OP로 나타낸 플롯과 같은 시스템의 임펄스 응답 (주파수 응답)의 푸리에 변환입니다.

OP의 질문에 비추어 첫 번째 경우를 고려하십시오. 각 필터의 ​​교차점에는 다음과 같이 주어진 크기와 위상이 있습니다.

크로스 오버에서의 고역 통과 : $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}$

크로스 오버시 저역 통과 : $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

동시에 결과는 다음과 같습니다. $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2} + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$ 각도가 0 인 1과 같습니다.이 경우 두 벡터를 추가 한 것으로 그래픽으로 보는 것이 가장 쉽습니다.

연속적으로 결과는 $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$. 벡터를 곱하면 크기를 곱하고 위상 (지수)을 더하므로이 결과는 위상이 0 인 0.5입니다.

그리고 가장 높은 주파수에서 각 필터는 다음과 같이 주어진 크기와 위상을 갖습니다.

f로 고역 통과 $\rightarrow \infty$: $1e^{j0}$

f로 저역 통과 $\rightarrow \infty$: $0e^{-j\pi}$

병렬 케이스의 결과는 여전히 각도 0의 경우 1이지만 시리즈의 경우 0에 접근합니다 (각도의 경우) $-\pi$) 주파수가 가까워짐에 따라 $\infty$. 이는 하이 패스가 신호를 통과하지만 (지연없이 필터는 최고 주파수에서 투명하다) 로우 패스는 신호를 완전히 차단하므로 아무것도 통과하지 못한다. 또한 크로스 오버를 통과 할 때 위상이 음의 방향으로 어떻게 변하는 지 확인하고, 순 위상 변이 대 주파수의 기울기의 음의 음에 의해 주어진 합산 필터의 대역 통과 결과에 지연이 있습니다. .

그 사이에 일어나는 것은 병렬 조합이 제로 위상에 합산되기 위해 두 필터 사이에 특별한 수학적 관계가 필요합니다 (따라서 본질적으로 병렬 조합도 투명하게 만듭니다). 두 필터의 위상에 직교 관계가 있음을 명확하게 볼 수있는 OP의 예를 고려하십시오. 따라서 우리는 :

이 결과가 모든 주파수에 대해 항상 제로 위상을 갖기 위해서는 다음과 같은 동등성을 유지해야합니다.

또는 다음과 같이 설명합니다.

우리가 쓸 때 단위 원의 실제와 가상의 구성 요소는 $\phi_1$가능한 모든 값을 초과합니다. 따라서 언제$A_1 = cos(\phi_1)$ 과 $A_2 = sin(\phi_1)$두 필터의 벡터 합산은 모두에 대해 위상이 0이됩니다. $\phi_1$ 그러므로 모든 주파수.

OP가 보여준 최종 플롯과 가능한 직관에 관해서는, 미분은 고역 통과 함수라고 생각하십시오. 만약 당신이 적색 펄스의 도함수를 취하면 결과적으로 녹색 펄스를 얻을 것입니다. 빨간색 펄스가 나타날 때까지이 결과를 얻을 수 없으므로 인과 관계를 위반하지 않습니다.

나는 이것이 흥미로운 질문이라고 생각했기 때문에 5 년 늦었지만 대답하려고 노력할 것입니다.

그룹 지연을 측정하는 방법 중 하나를 잘못 적용하는 방법, 즉 위상의 음의 미분으로 계산하는 방법을 발견했다고 생각합니다. 이 상황에서는이 방법이 적합하지 않습니다.

이 상황에서 그룹 지연을 측정하는보다 적절한 방법은 사인파 입력을 사용하고 입력과 합산 된 출력 사이의 지연을 측정하는 것입니다. 물론 완전한 그림을 얻으려면 번거롭지 만 정확한 주파수 스윕을 수행해야합니다.

이렇게하면 0이 아닌 그룹 지연을 측정 할 것에 동의 할 수 있습니다.

그룹 지연은 그룹 즉 변조 된 신호와 관련이 있으므로 그룹 지연의 측정은 그룹 (변조 된 신호)을 사용하여 수행해야합니다. 필터에 들어가는 그룹은 필터의 출력에서 ​​모양과 관련하여 동일해야합니다. 형상은 예를 들어 그룹의 스펙트럼을 의미한다. 단일 주파수에서 수행 된 측정에는 그룹 지연에 대한 정보가 없습니다.