디지털 애플리케이션에서 연속 구절 이산 웨이블릿 변환 사용

웨이블릿의 수학적 배경에 대해 잘 알고 있습니다. 그러나 웨이블릿이있는 컴퓨터에서 알고리즘을 구현할 때 연속 또는 이산 웨이블릿을 사용해야하는지 확실하지 않습니다. 실제로 모든 컴퓨터에서 모든 것이 분리되어 있기 때문에 분리 된 웨이블릿이 디지털 신호 처리에 적합한 선택 인 것은 분명해 보입니다. 그러나 위키 백과에 따르면 이는 주로 (디지털) 이미지 압축 및 수많은 다른 디지털 데이터 처리 활동에 사용되는 연속 웨이블릿 변환입니다. 디지털 이미지 또는 신호 처리를 위해 (정확한) 이산 웨이블릿 변환 대신 (대략) 연속 웨이블릿 변환을 사용할지 여부를 결정할 때 고려해야 할 장단점은 무엇입니까?

추신 (여기서는 가정 확인) 연속 웨이블릿 변환이 균일 한 간격으로 포인트에서 연속 웨이블릿의 값을 가져와 웨이블릿 계산에 결과 시퀀스를 사용하여 디지털 처리에 사용되는 것으로 가정합니다. 이 올바른지?

PPS 일반적으로 위키 백과는 수학에 대해 매우 정확하므로 Continuous Wavelet Transforms 기사의 응용 프로그램은 실제로 Continuous Wavelet Transform의 응용 프로그램이라고 가정합니다. 확실히 그것은 구체적으로 CWT 인 것들을 언급하기 때문에 디지털 애플리케이션에서 CWT의 사용이 분명히 있습니다.

Mohammad가 이미 언급했듯이 CWT (Continuous Wavelet Transforms)와 DWT (Discrete Wavelet Transforms)라는 용어는 약간 오해의 소지가 있습니다. 그것들은 대략 (연속) 푸리에 변환 (수학 적분 변환)과 DFT (이산 푸리에 변환)와 관련이 있습니다.

세부 사항을 이해하려면 역사적 맥락을 보는 것이 좋습니다. 웨이블릿 변환은 원래 Morlet에 의해 지구 물리학에서 도입되었으며 기본적으로 선택된 스케일 / 주파수와 함께 성장하고 축소되는 Window를 갖춘 Gabor 변환이었습니다. 나중에 Daubchies (벨기에 출신의 물리학 자)는 특수한 직교 웨이블릿베이스를 선택함으로써 무한 중복 CWT가 2 차원 그리드에서 비판적으로 샘플링 될 수 있음을 깨달았습니다. 결과적인 DWT로부터, 대응하는 완전한 CWT는 DWT를 각각의 웨이블릿의 재생 커널과 컨볼 루션함으로써 얻을 수있다. 재생 커널은 웨이블릿 자체의 CWT입니다.

Daubchies의 발견은 80 년대 초반에 웨이블릿 이론을 크게 향상 시켰습니다. 다음 큰 결과는 필터 뱅크 이론, 즉 QMF (Quadrature Mirror Filter)와 다운 샘플링 필터 뱅크 이론의 기술을 사용하여 DWT를 매우 효율적으로 계산할 수 있다는 것입니다 (FWT [Fast WT]라고도 함). 특수 QMF를 구성함으로써, 해당 DWT는 오늘날 DWT를 계산하는 최첨단 알고리즘 인 필터링 및 다운 샘플링을 통해 계산 될 수 있습니다. DWT를 계산하기 위해 스케일링 기능이 필요하지 않습니다. FWT 프로세스가 구현 세부 사항 일뿐입니다.

응용 측면에서 CWT는보다 세밀한 분해능으로 인해 신호 또는 시계열 분석에 더 이상적인 후보이며 일반적으로 대부분의 작업 (예 : 특이점 탐지)에서 선택됩니다. DWT는 빠른 비 중복 변환과 관련하여 더 관심이 있습니다. DWT는 에너지 압축이 매우 우수하므로 손실 압축 및 신호 전송에 적합합니다.

그것이 명확 해 졌기를 바랍니다.

웨이블릿 분야에서 매우 일반적이지만 불행한 오해는 "연속 웨이블릿 변환"이라는 잘못된 코인 용어와 관련이 있습니다.

가장 먼저 : CWT (Continuous Wavelet Transform) 및 DWT (Discrete Wavelet Transform) 는 컴퓨터에서 쉽게 구현되는 포인트 별 디지털 변환입니다.

웨이블릿 컨텍스트에서 "연속"변환과 "이산"변환의 차이점은 다음과 같습니다.

1) 신호를 웨이블릿과 교차 상관시킬 때 건너 뛴 샘플 수입니다.

2) 웨이블릿을 확장 할 때 건너 뛴 샘플 수입니다.

3) CWT는 웨이블릿 만 사용하고 DWT는 웨이블릿과 스케일 릿을 모두 사용합니다. (이 토론에서는 중요하지 않지만 완전성을 위해 여기에서는 중요합니다).

그러나 실수하지 마십시오. CWT는 DWT와 마찬가지로 항상 분리 된 디지털 운영입니다.

이 예제를 통해이를 설명하겠습니다. Haar Wavelet, [1 -1]을 고려하십시오. Haar Wavelet으로 DWT를하고 싶다고하자. 따라서 Haar 어머니 웨이블릿 [1 -1]을 사용하여 신호를 복잡하게 만들지 만 신호는 지연됩니다. 예를 들어 신호가 다음 벡터라고 가정 해 보겠습니다.

Haar Wavelet과의 DWT 컨볼 루션의 첫 번째 결과는 다음과 같습니다.

다음은

마지막으로 다음과 같습니다.

무언가가 당신을 이상하게 생각합니까? 나는 당신의 신호를 웨이블릿으로 컨볼 루션한다고 말했는데 어떻게 4 개의 값만 가지게 될까요? DWT에서 컨볼 루션을 수행 할 때 샘플을 건너 뛰기 때문 입니다. 나는 먼저 [1 2]를 취하고 내적을 한 다음 [3 4]를 취했습니다. [2 3]은 어떻게 되었습니까? 나는 그것을 건너 뛰었다.

언제 건너 뛰지 않습니까? CWT를 할 때. CWT를 수행했다면 Haar 웨이블릿과 함께 신호의 '정상적인'디지털 컨볼 루션이됩니다.

두 번째는 웨이블릿을 확장하는 방법입니다. 상단 예에서 첫 번째 레벨 분해의 경우 Haar Wavelet은 [1 -1]입니다. 두 번째 레벨에서 DWT Haar Wavelet은 [1 1 -1 -1]이됩니다. 그러나, CWT에서, 제 2 레벨 Haar 웨이블릿은 [110-1]이다. 다시 한 번, DWT에서는 포인트를 확장하지 않습니다. 3 길이 웨이블릿은 없습니다. 그러나 CWT에서는 길이 2에서 길이 3으로갑니다. DWT에서는 길이 2에서 길이 4로 똑바로갔습니다.

이것은 길고 짧으며 이것이 도움이되기를 바랍니다.