시간 지연된 버전의 신호를 추가하여 왜 필터링 된 신호를 생성합니까?

9

나는이 질문을 받았으며 주파수 영역과 관련이없는 현장에서 답을 얻을 수 없었습니다 (기본적으로 지연 시퀀스의 계수는 FIR 필터의 임펄스 응답입니다).

누구나이 과정을 '분명하게'만드는 통찰력이 있습니까?

filters

— 톰 킬리
소스

9

신호를 $T$ 초 지연 시키고 신호 자체에 추가하면 Hz 주파수에서 신호 성분을 취소하거나 무효화 합니다. 해당 신호 성분은 정확히 : $\frac{1}{2T}$ $\pi$

\begin{aligned} \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} (t - T) + θ) & = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ - π) \\ = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \cos (π) \\ - \cos (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \sin (π) \\ = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - 0 \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}(t-T) + \theta\right) &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta - \pi\right)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) +\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\cos(\pi)\\ &\ \hspace{0.2in}-\cos\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\sin(\pi)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) -\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)-0\\ &= 0. \end{align}$

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$ Hz 의 홀수 배에서도 비슷한 일이 발생합니다 . 근처 주파수의 경우, 취소가 완전하지 않으며, 물론

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$ Hz의 배수에서도 신호 성분이 취소되지 않고 값이 두 배가됩니다. 마찬가지로 지연된 신호가 진폭이 감소하면

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$ Hz 등에서 취소가 완료되지 않습니다 .

요약하면, 다른 주파수로 다른 게인을 통과하기 때문에 신호 가 필터링됩니다.

주파수 영역 설명을 원하면 시스템 의 전달 함수 는 Matt의 응답이 임펄스 응답 viz로 준 푸리에 변환입니다. 의 상수가 함수 (사실, 다름 정현파의 최대의 의 최소 전술 한 바와 같이), 그래서 스칼라 배수가 아닌 . 필터링! $H(f)$

F [δ (t) + δ (t - T)] = 1 + \exp (- j 2 π f T)

$\mathcal F\left[\delta(t) + \delta(t-T)\right] = 1+\exp(-j2\pi fT)$

f

$f$

| H (f) |

$|H(f)|$

2

$2$

0

$0$

Y (f) = H (f) X (f)

$Y(f)=H(f)X(f)$

X (f)

$X(f)$

— 디립 사르 베이트
소스

지연에 대해 죄송합니다. 필터링이 간섭이라는 점에서 필터링이 두 신호의 컨볼 루션이어야하는 필요성으로 어떻게 이동합니까? 나는 두 개의 코사인 공식의 합에서 (대수적으로) 볼 수 있지만 그 이유를 직관 할 수는 없습니다.

— Tom Kealy

"필터링은 간섭입니다" 라는 의미를 설명하십시오 . 나는이 개념을 전혀 이해하지 못한다

— Dilip Sarwate

우리는 방금 다른 위상과 함께 두 개의 신호를 추가하는 것이 파도가 간섭하기 때문에 시간 지연으로 필터링하는 것과 같습니다. 거기에서 컨볼 루션으로 어떻게 이동합니까 (시간 영역에서)?

— Tom Kealy

나는 아직도 그 질문을 이해하지 못한다. 는 IS 출력 임펄스 응답과 필터의 입력되는 일이 등 Matt의 답변에서 지적되었습니다. 출력을 컨볼 루션으로 쓰려면 임펄스 의 선별 특성을 사용하여 적분을 평가할 때 이미 알고 있습니다.

x (t) + x (t - T) = y (t)

$x(t)+x(t-T) = y(t)$

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t)+\delta(t-T)$

x (t)

$x(t)$

y (t) = x ⋆ h = \int_{- \infty}^{\infty} x (t - u) h (u) d u = \int_{- \infty}^{\infty} x (t - u) [δ (u) + δ (u - T)] d u

$y(t) = x\star h = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)h(u)\,du = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)[\delta(u)+\delta(u-T)]\,du$

x (t) + x (t - T)

$x(t)+x(t-T)$

— Dilip Sarwate

6

(선형 시간 불변) 필터링을 컨벌루션으로 정의하면 정답이 분명합니다. 신호와 지연된 버전의 합은 임펄스 응답 : 컨볼 루션으로 기록 될 수 있습니다 . 여기서 는 두 버전의 신호 간 지연입니다. $h(t)$

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t) + \delta(t-T)$

T

$T$

— 맷 L.
소스

4

신호의 지연 추가 버전의 시간 지연이주기적인 내용의 정확히 한주기이면 출력이 추가로 증가합니다. 지연이 정현파 성분의주기의 정확히 절반이면, 그 성분은 파괴적으로 간섭하여 출력에서 제로화됩니다. 지연이 0이면 신호가 두 배가됩니다. 완전 파괴 간섭 또는 완전 추가 사이에있는 주파수 / 위상 조합의 경우, 추가 결과도 중간에 있습니다.

입력의 주파수 내용에 따라 출력을 늘리거나 줄이는 것이 일반적인 필터링입니다.

— hotpaw2
소스