이산 푸리에 변환의 중심 주파수 0

이산 푸리에 변환을 사용하여 블러 링 / 샤프닝을 구현하는 이미지 처리 응용 프로그램을 만들고 있습니다. 응용 프로그램이 다소 작동하지만 역학에 대한 내용이 여전히 혼란 스럽습니다.

특히, 제로 주파수를 중심으로하는 프로세스가 수행되는 방식입니다.

내가 본 예제는 입력 이미지와 입력 크기와 동일한 크기의 행렬을 곱하여 입력 이미지 (회색조 강도)를 전처리합니다. 여기서 값은 . 여기서 는 행이고 는 열, 따라서 패턴이 과 번갈아 가며$(-1)^{x+y}$$x$$y$$1$$-1$

참고 사항에 따르면 이것은 및 축을 뒤집어 매트릭스의 사분면을 바꾸는 것과 같습니다 .$x$$y$

왜 이것이 완료되었는지 이해하고 코드 / 푸리에 물건이 작동한다는 것을 이해하고 싶습니다. 입력 매트릭스에 1 / -1을 곱하는 것이 왜 제로 주파수 성분을 0으로 중심에 두는지를 이해하지 못합니다.

감사

오! 정말 멋진 트릭입니다! 컨볼 루션 정리 때문에 작동합니다 (즉, 공간 / 시간 도메인에서의 곱셈은 주파수 도메인에서의 컨볼 루션과 동일합니다).

및 축을 뒤집지 않고 푸리에 변환의 이미지를 회전시킵니다 (실린더의 반쯤 이동하는 것을 고려하십시오). 여기서 중요한 것은 공간 영역에서 교대 -1,1이 가장 높은 주파수의 신호라는 것입니다. 따라서 해당 이미지의 푸리에 변환은 주파수 영역에서 단일 지점입니다. 단일 포인트로 회전하는 것은 0 주파수에서 포인트의 오프셋만큼 이미지를 이동 (회전)하는 것과 같습니다.$x$$y$

테스트 이미지는 다음과 같습니다 .. 푸리에 변환은 다음과 같습니다.

교체 이미지 ( ) 의 푸리에 변환을 수행하면 푸리에 변환의 중심에 단일 점이 생깁니다 . (우리는 아직 회전을 수행하지 않았으므로 푸리에 변환의 중심은 고주파수이고 저주파수는 여전히 구석에 있습니다.) 그러나 이것이 "회전 커널"입니다. 이 회전 커널을 사용하면 모든 것이 아래로 이동하고 오른쪽으로 이동하지만 오른쪽 아래에서 떨어지는 것은 왼쪽 상단으로 회전합니다.

(이미지 영역에서의) 회전 커널 원본 이미지를 컨볼 루션 당신을 제공합니다 , 푸리에 (주파수 영역에서) 회전 커널 이미지를 변환 컨볼 루션 동안을 제공합니다 .

그리고 이미지 영역의 바둑판에 테스트 이미지를 곱하면 다음과 같은 푸리에 변환이 제공 됩니다.

방황 논리의 대답은 정확하고 상세합니다. 그림 대신 수학을 원한다고 생각했습니다.

는 1D의 경우를 살펴보면 의해 입력 승산된다 주파수 여기서 우연히 . 즉, 곱셈은 신호의 스펙트럼을 샘플링 주파수의 절반만큼 이동시킵니다.$(-1)^k = e^{j\omega}$$\omega$$2\pi (k/2)$

그 결과 인덱스 0 이전의 0 빈도는 이제 이미지 너비 (열 또는 행을 곱하는지 여부에 따라 높이)의 절반이됩니다.