일치 필터 이해

31

일치하는 필터링에 대한 질문이 있습니다. 정합 필터는 결정 순간에만 SNR을 최대화합니까? 내가 이해하는 한, 일치하는 필터를 통해 NRZ를 넣으면 결정 지점에서만 SNR이 최대화되며 이는 일치하는 필터의 장점입니다. 출력 기능의 다른 곳이나 결정 지점에서 SNR을 최대화합니까?

Wikipedia에 따르면

정합 필터는 가산 확률 노이즈가있을 때 신호 대 잡음비 (SNR)를 최대화하기위한 최적의 선형 필터입니다.

이것은 나에게 그것이 모든 곳에서 그것을 최대화한다는 것을 암시하지만 그것이 어떻게 가능한지 알지 못합니다. 커뮤니케이션 엔지니어링 교과서의 수학을 살펴 보았으며, 내가 알 수있는 것은 바로 결정 지점에 있습니다.

내가 가지고있는 또 다른 질문은 결정 시점에서 실제로 키가 큰 마른 스파이크를 만드는 필터를 만들지 않는 것입니다. 그것은 SNR을 더 좋게 만들지 않습니까?

감사.

편집 : 나는 또한 NRZ 데이터가 있고 일치하는 필터를 사용한다고 가정하면 일치하는 필터를 I & D (통합 및 덤프)로 구현할 수 있다고 생각합니다. I & D는 기본적으로 샘플링 시간에 도달 할 때까지 증가하며, 그 시점에서 SNR이 최대이기 때문에 I & D의 최고점에있는 하나의 샘플에 대한 아이디어가 있습니다. 내가 얻지 못하는 것은 왜 필터 또는 그와 같은 것을 이중으로 통합하는 필터를 만들지 않는 것입니다. 그러면 램프가 아닌 제곱이 증가하고 샘플링 지점이 더 높아집니다. 내가 알 수 있듯이, 의사 결정 회로에 의해 올바르게 해석 될 가능성이 더 높습니다 (그리고 더 낮은 Pe (오류 가능성)를 제공합니까)?

filters digital-communications matched-filter

— 사용자
소스

1

이 답변 과 마지막 문장의 링크를 읽으십시오 . 이중 통합은 비 일치 필터 의 출력 (원하는 샘플링 시간에)을 효과적으로 계산 하므로 노이즈가 가우스 가우스 인 경우 일치하는 필터보다 더 작은 줄 수 없습니다 . 노이즈가 가우시안 노이즈 인 경우 선형이든 비선형이든 필터는 일치하는 필터보다 오류 확률이 작을 수 없습니다 .

P_{e}

$P_e$

— Dilip Sarwate

50

이 질문에는 편집, 답변에 대한 주석 등의 여러 하위 질문이 있으며 이에 대해서는 다루지 않았습니다.

일치하는 필터

임펄스 응답 , 전달 함수 로 (선형 시간 불변 BIBO- 안정성) 필터에 입력 되는 유한 에너지 신호 를 고려 하여 출력 신호 어떤 선택 하면 주어진 시간에 최대 응답이 생성 됩니까? ? 즉, 전역 최대 가 발생 하도록 필터를 찾고 있습니다. 임펄스 응답이 필터가 임펄스 응답이있는 필터보다 큰 응답을 갖기 때문에 이것은 매우 느슨하게 표현 된 (그리고 실제로는 대답 할 수없는) 질문입니다. $s(t)$ $h(t)$ $H(f)$

\begin{matrix} (1) & y (τ) = \int_{- \infty}^{\infty} s (τ - t) h (t) d t . \end{matrix}

$y(\tau) = \int_{-\infty}^\infty s(\tau-t)h(t)\,\mathrm dt.\tag{1}$

h (t)

$h(t)$

t_{0}

$t_0$

y (τ)

$y(\tau)$

t_{0}

$t_0$

2 h (t)

$2h(t)$

h (t)

$h(t)$ 이므로 응답을 최대화하는 필터와 같은 것은 없습니다. 따라서 사과와 오렌지를 비교하는 대신 고정 에너지를 가진 임펄스 응답 , 예를 들어 따라 를 최대화하는 필터를 찾는 제약 조건을 포함시켜 보겠습니다.

y (t_{0})

$y(t_0)$

\begin{matrix} (2) & \int_{- \infty}^{\infty} | h (티) |^{2} 디 티 = 이자형 = \int_{- \infty}^{\infty} | 에스 (티) |^{2} 디 티 . \end{matrix}

$\int_{-\infty}^\infty |h(t)|^2\,\mathrm dt = \mathbb E = \int_{-\infty}^\infty |s(t)|^2 \,\mathrm dt.\tag{2}$

여기서 "필터"는 임펄스 응답이 (2)를 만족하는 선형시 불변 필터를 의미한다.

Cauchy-Schwarz 불평등은이 질문에 대한 답을 제공합니다. 우리는 평등 발생 가진 경우 와 (2) 우리가 얻을으로부터 이며, 임펄스 응답과 필터 최대 생산 응답

y (t_{0}) = \int_{- \infty}^{\infty} s (t_{0} - t) h (t) d t \leq \sqrt{\int_{- \infty}^{\infty} | s (t_{0} - t) |^{2} d t} \sqrt{\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) |^{2} d t} = E

$y(t_0) = \int_{-\infty}^\infty s(t_0-t)h(t)\,\mathrm dt \leq \sqrt{\int_{-\infty}^\infty |s(t_0-t)|^2 \,\mathrm dt} \sqrt{\int_{-\infty}^\infty |h(t)|^2\,\mathrm dt} = \mathbb E$

h (t) = λ s (t_{0} - t)

$h(t) = \lambda s(t_0-t)$

λ > 0

$\lambda > 0$

λ = 1

$\lambda = 1$

h (t) = s (t_{0} - t)

$h(t) = s(t_0-t)$

지정된 시간

. 위에서 설명한 (비 확률 적) 의미에서이 필터는

y (t_{0}) = E

$y(t_0) = \mathbb E$

t_{0}

$t_0$

정합 필터 의 시간에 또는 대한 정합 필터 의 시간에 $s(t)$ $t_0$ $s(t)$ $t_0.$

이 결과에 주목할만한 몇 가지 사항이 있습니다.

정합 필터의 출력은 에서 고유 한 전역 최대 값 를 갖습니다 . 다른 대해 , 우리가 . $\mathbb E$ $t_0$ $t$ $y(t) < y(t_0) = \mathbb E$
임펄스 응답 의 시간에 대한 정합 필터의 단지 "시간 반전"에 의해 우측으로 이동 . $s(t_0-t) = s(-(t-t_0))$ $t_0$ $s(t)$ $t_0$

에이. 경우 유한 지원 가령 갖는다 다음 정합 필터는 비인 경우 . $s(t)$ $[0,T]$ $t_0 < T$

비. 정합 필터 시점에서 시간에서 유사한 막 필터이다 의 추가적인 지연 . 이러한 이유로, 어떤 사람들은 임펄스 응답 필터 호출 , (즉, 정합 필터 에서 ) 대한 정합 필터 $s(t)$ $t_1 > t_0$ $t_0$ $t_1-t_0$ $s(-t)$ $s(t)$ $t=0$ $s(t)$ 정확한 일치 시간을 필요할 때 언제든 토론에 통합 할 수 있다는 것을 이해합니다. 경우 에 대한 , 다음 정합 필터는 비인이다. 이를 통해 1을 다시 표현할 수 있습니다. $s(t) = 0$ $t < 0$
대한 정합 필터 고유 전체 최대 값 생성 시간에서 . 또한 $s(t)$ $y(0) = \mathbb E$ $t=0$ 는 IS자기 상관 함수는 신호의 . 이 것을 물론 잘 알려져 의 짝수 함수 원점에 고유 피크. 시간에 정합 필터의 출력 유의 그냥 , 자기 상관 함수는 시간에 피크 지연 .
$y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} s (t - τ) s (- τ) d τ = \int_{- \infty}^{\infty} s (τ - t) s (τ) d τ = R_{s} (t)$ $y(t) = \int_{-\infty}^\infty s(t-\tau)s(-\tau)\,\mathrm d\tau = \int_{-\infty}^\infty s(\tau-t)s(\tau)\,\mathrm d\tau = R_s(t)$ $s(t)$ $R_s(t)$ $t$ $t_0$ $R_s(t-t_0)$ $t_0$
어떤 시간에 대한 정합 필터 이외의 필터 큰로서 출력 생산할 수 에서 . 그러나, 임의의에 대해 , 그것을 초과하는 출력이 필터를 구하는 것이 가능하다 에서 . 참고 . $t_0$ $\mathbb E$ $t_0$ $t_0$ $R_s(t_0)$ $t_0$ $R_s(t_0) < \mathbb E$
전달 함수 의 정합 필터는 의 스펙트럼의 켤레 복소수 . 따라서 . 이 결과를 다음과 같이 생각하십시오. 이후 를위한 및 $H(f)=S^*(f)$ $S(f)$ $Y(f) = \mathfrak F[y(t)]= |S(f)|^2$ $x^2 > x$ $x > 1$ 경우 경우, 정합 필터는 가 작은주파수에서 낮은 게인을 갖고 가 큰주파수에서 높은 게인을갖습니다 . 따라서, 정합 필터는 약한 스펙트럼 성분을 감소시키고 에서 강한 스펙트럼 성분을 향상시킨다. (또한 모든 "정현파"를 조정하여 모두 에서 피크가되도록 위상 보정을 수행하고 있습니다). $x^2< x$ $0 < x < 1$ $S(f)$ $S(f)$ $S(f)$ $t=0$

-------

그러나 소음과 SNR은 어떻습니까? OP는 무엇을 요구하고 있습니까?

신호 + 양면 전력 스펙트럼 밀도 가산 가우스 노이즈 추가 $s(t)$ 는 임펄스 응답를 갖는 필터를 통해 처리되고, 출력 잡음프로세스는 자기 상관 함수갖는 제로 평균 정지 가우스 프로세스이다. $\frac{N_0}{2}$ $h(t)$ . 따라서 분산은 $\frac{N_0}{2}R_s(t)$ 필터 출력을 샘플링 할 때와 상관없이 분산이 동일하다는 점에 유의해야합니다. 그래서, 어떤 선택 신호대 잡음비의 극대화 시간에 ? Cauchy-Schwarz 불평등에서

σ^{2} = \frac{N_{0}}{2} R_{s} (0) = \frac{N_{0}}{2} \int_{- \infty}^{\infty} | h (t) |^{2} d t .

$\sigma^2 = \frac{N_0}{2} R_s(0) = \frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|^2\,\mathrm dt.$

h (t)

$h(t)$

y (t_{0}) / σ

$y(t_0)/\sigma$

t_{0}

$t_0$

시간

에서

와 일치하는 필터

일 때 정확히 같음

! 참고

. 원하는 샘플 시간에이 일치 필터를 사용하면다른 시간

에서 SNR은

SNR = \frac{y (t_{0})}{σ} = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} s (t_{0} - t) h (t) d t}{\sqrt{\frac{N_{0}}{2} \int_{- \infty}^{\infty} | h (t) |^{2} d t}} \leq \frac{\sqrt{\int_{- \infty}^{\infty} | s (t_{0} - t) |^{2} d t} \sqrt{\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) |^{2} d t}}{\sqrt{\frac{N_{0}}{2} \int_{- \infty}^{\infty} | h (t) |^{2} d t}} = \sqrt{\frac{2 E}{N_{0}}}

$\text{SNR} = \frac{y(t_0)}{\sigma} = \frac{\int_{-\infty}^\infty s(t_0-t)h(t)\,\mathrm dt}{\sqrt{\frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^\infty |h(t)|^2\,\mathrm dt}} \leq \frac{\sqrt{\int_{-\infty}^\infty |s(t_0-t)|^2 \,\mathrm dt} \sqrt{\int_{-\infty}^\infty |h(t)|^2\,\mathrm dt}}{\sqrt{\frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^\infty |h(t)|^2\,\mathrm dt}} = \sqrt{\frac{2\mathbb E}{N_0}}$

h (t) = s (t_{0} - t)

$h(t) = s(t_0-t)$

s (t)

$s(t)$

t_{0}

$t_0$

σ^{2} = E N_{0} / 2

$\sigma^2 = \mathbb EN_0/2$

t_{1}

$t_1$

. 시간

에서다른필터가 더 큰 SNR을 제공할 수 있습니까? 때문에 물론,

고려중인 모든 필터 동일하므로, 우리는 그 위에서 언급 한것이다보다 큰 신호 출력이 가능

시간에서의

다른 비 정합 필터의 사용에 의해.

y (t_{1}) / σ < y (t_{0}) / σ = \sqrt{\frac{2 E}{N_{0}}}

$y(t_1)/\sigma < y(t_0)/\sigma = \sqrt{\frac{2\mathbb E}{N_0}}$

t_{1}

$t_1$

σ

$\sigma$

y (t_{1})

$y(t_1)$

t_{1}

$t_1$

한마디로

"일치 필터는 샘플링 순간 또는 어디에서나 SNR을 최대화합니까?" 신호대 잡음비가 샘플링 순간에만 최대화한다는 응답 갖는다 . 다른 시간에, 다른 필터는 시간 에서 정합 필터가 제공하는 것보다 더 큰 SNR을 제공 할 수 있지만, 이것은 여전히 SNR보다 작습니다 $t_0$ $t_1$ 일치하는 필터가에서 제공하는 , 원하는 경우, 일치하는 필터는 시간에서대신에피크를 생성하도록 재 설계 될 수 있습니다 . $\sqrt{\frac{2\mathbb E}{N_0}}$ $t_0$ $t_1$ $t_0$
"결정 시점에서 정말 키가 큰 스파이크를 만드는 필터를 만들어 보지 않겠습니까? SNR을 더 좋게 만들지 않겠습니까?"
일치하는 필터 는 샘플링 시간에 일종의 스파이크를 생성하지만 자기 상관 함수의 모양에 의해 제한됩니다. 모든 다른 당신은 키가 큰 마른 (시간 영역) 스파이크를 생산하기 위해 고안 할 수있는 필터는 정합 필터 아니고, 그래서 당신에게 가능한 최대 SNR을 제공하지 않습니다. 필터 임펄스 응답의 진폭 을 증가시키는 것 (또는 샘플링시 게인을 높이는 시변 필터를 사용하는 것)은 신호와 노이즈 표준 편차가 비례 적으로 증가하기 때문에 SNR을 변경하지 않습니다.
"I & D는 기본적으로 샘플링 시간에 도달 할 때까지 증가 할 것이며, 그 시점에서 SNR이 최대이기 때문에 하나의 샘플이 I & D의 최고점에 도달한다는 아이디어가 있습니다."
NRZ 데이터 및 직사각형 펄스의 경우 정합 된 필터 임펄스 응답도 직사각형 펄스입니다. 적산 및 덤프 회로는 출력이 샘플링 순간에서만 일치하는 필터 출력과 같고 그 사이 가 아닌 상관기 입니다 . 아래 그림을 참조하십시오.

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

다른 시간에 상관기 출력을 샘플링하는 경우 더 작은 분산으로 노이즈가 발생하지만 노이즈 변수가 서로 관련이 있고 순 분산이 크게 작동하기 때문에 서로 다른 시간에 가져온 I & D 출력 샘플을 더할 수는 없습니다. 더 큰. 또한 일치하는 필터 출력에서 여러 샘플을 가져 와서 더 나은 SNR을 얻기 위해 어떤 방식 으로든 결합 할 수있을 것으로 기 대해서는 안됩니다. 작동하지 않습니다. 실제로 효과가있는 것은 다른 필터이며 가우시안 노이즈의 (선형) 일치 필터보다 더 나을 수는 없습니다. 비선형 처리는 일치하는 피팅보다 작은 오류 확률을 제공하지 않습니다.

— 디립 사르 베이트
소스

2

좋은 대답입니다. 디지털 커뮤니케이션 이론 과정의 상당 부분이 하나의 패키지로 제공됩니다.

— Jason R

y (t) = r (t) * r (- t)

$y(t) = r(t) * r(-t)$

y (t)

$y(t)$

r (t)

$r(t)$ 전달하기에 충분히 큰 박스 함수를 사용하면 로직 레벨 1과 0 상태를 모두 포함 할 수 있습니다. 그런 다음 출력을 얻습니다. 예상되는.

— user968243

p (t)

$p(t)$

0

$0$

T

$T$

r (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{b_{n}} p (t - n T)

$r(t)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^{b_n}p(t-nT)$

h (t) = p (- t)

$h(t)=p(-t)$

(r ⋆ h) (t) = \int_{- \infty}^{\infty} r (u) h (t - u) d u = \int_{- \infty}^{\infty} r (u) p (u - t) d u = \int_{t - T}^{t} r (u) d u,

$(r\star h)(t)=\int_{-\infty}^\infty r(u)h(t-u)\,du=\int_{-\infty}^\infty r(u)p(u-t)\,du=\int_{t-T}^t r(u)\,du,$

t

$t$

T

$T$

(계속)이 ISI는 일치하는 필터 출력에서 여러 샘플을 가져 와서 SNR을 개선하기 위해 처리하는 방법이 제대로 작동하지 않는 또 다른 이유입니다.

— Dilip Sarwate 2016 년

괜찮 감사! 그러나 일치하는 필터는 실제로 상관 기인 것 같습니다. 그래프 2의 상관 기는 실제로 T로 상관기처럼 보이기 위해 모든 T 통합을 다시 시작 해야하는 통합기로 구현 된 것입니다. 일치하는 필터는 상관기보다 상관 기와 더 비슷합니다 (이상하게 들립니다).

— user968243 2016 년

5

맞습니다. 일치하는 필터는 결정 즉시 SNR을 최대화합니다.

키가 큰 스파이크 "필터"에 대한 제안은 필터가 아니라 실제로 샘플러 (결정 지점에서 사용 된 샘플러)입니다.

정합 필터는 연속 입력 신호에 적용되는 필터 (즉, 선형시 불변 시스템)입니다. "결정 시점에서의 스파이크"는 매우 시간 의존적입니다 (필터가 아니라 샘플러입니다).

— 후안 초
소스

질문에 수정 사항을 추가했습니다. 여기에 의견을 게시하려고했지만 너무 길어서 허용되지 않았습니다. 답변 주셔서 감사합니다.

— user968243

3

정합 필터는 부가적인 백색 가우스 잡음이있을 때 최대 가능성 수신기입니다. 따라서, 동일한 사전 심볼 확률에 대해, 최적의 비트 에러 성능을 얻을 것이다. 이것은 AWGN 채널에서 신호 대 잡음비를 최대화하는 것과 같습니다. 또한이 최대 SNR 조건이 각 심볼의 결정 순간에 있음을 올바르게 지적했습니다.

제안서의 오해는 AWGN 채널에서 일치하는 필터 방식보다 더 나은 방법을 사용할 수 없다는 것입니다. 결정 지점 이외의 시간 순간에 대한 필터의 출력은 비트 오류 성능과 관련이 없습니다. 실제적인 의미에서, 정합 필터 출력 (즉, 신호의 펄스 형태의 자기 상관 형태)이 임펄스 형 형태를 갖는 경우 심볼 타이밍 동기화를 얻는 것이 더 쉬울 수있다. 실제로 일부 직접 통신 기술 (직접 시퀀스 확산 스펙트럼 변조 등)에는이 속성이 있습니다.

그러나 비트 오류율을 분석 할 때 일반적인 경우 인 완벽한 동기화를 가정하면 달성되는 성능은 일치하는 필터의 출력 형태와 관련이 없습니다. 중요한 것은 펄스의 총 에너지로, 결정 지점에서 일치하는 필터의 출력 값을 결정합니다.

또한 원하는 특정 시간 도메인 응답을 갖는 다른 필터를 설계하기가 매우 어려울 수 있습니다. 이러한 프로세스는 deconvolution으로 알려져 있으며 쉽지 않습니다. 당신이 제안하는 이중 필터 접근법은 실제로 결정 통계를 훨씬 더 번지는 것의 반대 효과를 갖습니다 (컨볼 루션은 본질적으로 신호를 제 시간에 번짐). 더 좋아하는 모양을 제공하는 비선형 필터를 고안 할 수도 있지만 일치하는 필터 방식의 최적 성을 유지할지는 확실하지 않습니다.

— 제이슨 R
소스

답장을 보내 주셔서 감사합니다. 결정 지점에없는 일치 된 필터의 출력은 차이가 없으며 관련이 없다고 말했습니다. 나는 이것을 알아 냈고 왜 더 나은 필터를 만들 수 없는지 궁금해했다. 그게 말이되는지 확실하지 않습니다! 희망합니다! 내 생각에 이것은 필터가 선형이 아니기 때문에 이것을 할 수 없다는 것입니다.

— user968243

2

이론적으로 귀하의 질문에 대답 할 수는 없지만 실제로 대답 할 수 있습니다-일치하는 필터 시뮬레이터 ( http://www.grauonline.de/alexwww/ardumower/filter/filter.html )를 사용하여 볼 수 있습니다 .

— 알렉산더 그 라우
소스

2

위의 모든 답변은 일치 필터가 최적의 방법을 잘 설명하지만 결정에 관한 한 다른 샘플이 왜 쓸모 없는지 논의하지 않습니다. 최적이 아닌 샘플에 대한 흥미로운 관점은 주파수 영역보기를 사용하는 것입니다.

시간 영역에서의 상호-상관은 주파수 영역에서의 공액 곱이다. 최적의 순간에 샘플링 될 때, 모든 주파수 빈의 위상은 에너지가 결과의 I 브랜치에서 최대화되고 Q 암이 없도록 정렬됩니다. 다른 순간에 샘플링 될 때, 각 주파수 빈마다 다른이 시간 시프트 차이로 인해 위상 회전이 발생합니다. 아래 그림을 참조하십시오.

또한, 정합 필터를 통과 한 노이즈 샘플은 상관된다. 일치 된 필터 출력이 0, 즉 최적의 샘플링 순간과 교차하는 경우에만이 상관 관계가 0입니다.

복조 에 대한 기사에서 훨씬 더 자세히 설명됩니다 .

— 카심 차우 다리
소스

1

때로는 말한 것처럼 중간에 작은 스파이크가있는 필터를 사용하는 것이 더 유용합니다. 이러한 필터 중 하나를 MACE 필터라고합니다. 이게 원래 종이 야

Mahalanobis, A., Kumar, BVKV, Casasent, D .: 최소 평균 상관 에너지 필터. Appl. 고르다. 26, 3630–3633 (1987 년)

— 아론
소스