DFT 벡터에서 복잡한 켤레 대칭을 유지하기위한 매트릭스 프리 코딩 조건

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DFT 벡터가 있다고 가정 $\mathbf{X}$ 길이 N의 중간 점 주위에 복잡한 공액 대칭을 나타냅니다. $X(1) = X(N-1)^*$ , $X(2) = X(N - 2)^*$ 기타 등등. $X(0)$ 과 $X(N/2)$ DC와 나이 퀴 스트 주파수는 각각 실수이므로 나머지 요소는 복잡합니다.

이제 행렬이 있다고 가정 해 봅시다. $\mathbf{T}$ 크기와 함께 $N \times N$ 벡터 X를 곱합니다.

\begin{aligned} Y = T X \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{Y} = \mathbf{T}\mathbf{X} \end{align}$

질문은 ~이야:

어떤 조건에서 매트릭스 $\mathbf{T}$ 결과 벡터의 중간 점 주위의 복잡한 공액 대칭 $\mathbf{Y}$ 보존되어 있습니까?

이 질문에 대한 동기는 프리 코더 매트릭스를 만들어 내려고합니다. $\mathbf{T}$ 사전 코딩 된 (사전 이퀄 라이즈 된) 심볼을 생성합니다. $\mathbf{Y}$ IFFT가 진짜입니다

편집하다:

감사합니다 @MattL. 그리고 @niaren. 이 질문의 어려움은 필요한 조건을 찾는 것입니다. 매트의 대답은 충분합니다. 다음과 같이 수정해도 충분합니다.

첫 번째 행과 첫 번째 열은 0 일 필요는 없습니다. 대신, 값이 중간 점 주위에 복잡한 공액 대칭을 나타내는 한 첫 번째 값은 실수이고 $(N/2+1)$ -값은 기호와 마찬가지로 실제 값입니다. 동일하게 언급 될 수있다 $(N/2+1)$ 열 $(N/2+1)$ -번째 행과 주 대각선.

둘째, 왼쪽 상단과 오른쪽 하단의 매트릭스 사이의 동일한 대응 관계는 오른쪽 상단과 왼쪽 하단 모서리 사이에서 이루어질 수 있습니다. $(N/2 -1)\times(N/2-1)$ 매트릭스 $t_{2,N/2 + 2}$ 에 $t_{N/2,N}$ 왼쪽에서 오른쪽으로 뒤집고 뒤집어 뒤집어 켤레를 잡고 왼쪽 아래 구석에 놓습니다. MATLAB에서는 다음과 같습니다.

T(N/2+2:N,2:N/2) = conj(fliplr(flipud(Tisi(2:(N/2),N/2+2:N))))

이 구조는 DFT 매트릭스의 구조와 유사합니다. 이것이 필요한 조건입니까?

편집 (2) :

다음 코드는 실제 값에 대해 유효한 연산자를 구현합니다. $N \times N$ 매트릭스 $\mathbf{A}$ :

N = 8;  
A = rand(N,N); %must be real-valued  
w = exp(-1j*2*pi/N); % twiddle factor  
W = w.^(repmat(0:N-1,N,1).*repmat(0:N-1,N,1).'); % DFT matrix  
T = W*A*W'

편집 (3) :

주목하는 것도 흥미 롭습니다. $\mathbf{T}^{-1}$ 충분한 상태를 나타냅니다. 이것은 다음과 같은 사실에서 비롯됩니다.

\begin{aligned} T^{- 1} & = {(W A W^{H})}^{- 1} \\ = {(W^{H})}^{- 1} A^{- 1} W^{- 1} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \mathbf{\left(W A W^{H}\right)}^{-1}\\ &= \mathbf{\left(W^{H}\right)}^{-1} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W}^{-1} \end{align}$ 어디

W

$\mathbf{W}$ DFT 매트릭스입니다.

이후 $\mathbf{W^{H}} = N\mathbf{W}^{-1}$ . 이 방정식은 다음과 같습니다.

\begin{aligned} T^{- 1} & = {(N W^{- 1})}^{- 1} A^{- 1} \frac{1}{N} W^{H} \\ = W A^{- 1} W^{H} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \left(N\mathbf{W}^{-1}\right)^{-1} \mathbf{A}^{-1} \frac{1}{N}\mathbf{W^{H}}\\ &= \mathbf{W} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W^{H}} \end{align}$

마지막으로 $\mathbf{A}^{-1}$ 단, 실제 가치 $\mathbf{A}$ 전체 순위입니다 $\mathbf{T}^{-1}$ 충분하다.

dft equalization linear-algebra

— Igorauad
소스

자세한 내용을 살펴보기 전에 잠을 자지 만 대각선 행렬의 제한에도 불구하고 고려해야 할 사항

T

$\mathbf{T}$ 모든 가능한 벡터가 있기 때문에 일반성을 잃지 않고 수행 할 수 있습니다.

Y

$\mathbf{Y}$ 생성 될 수 있습니다. 동의하십니까?

— 매트 L.

물론 동의합니다.

— igorauad

1

나는 당신의 매트릭스의 항목이 $\bf{T}$ 따라야한다 $a_{N-n+1,N-m+1} = a^*_{n,m}$ . 이것은 행의 항목이 $N-n+1$ 는 행 n의 계수와 동일하지만 계수가 공액 및 역전되는 위치입니다. 패턴 $\bf{T}$ ...에 대한 $N=4$ 이다

$T_4 = \left[ \begin{smallmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ a^*_{24}&a^*_{23}&a^*_{22}&a^*_{21} \\ a^*_{14}&a^*_{13}&a^*_{12}&a^*_{11}\end{smallmatrix} \right]$

나는 누군가가 더 정확하고 더 정확한 답변을 얻을 것이라고 확신합니다.

— 니아 렌
소스

DC 구성 요소는 어떻습니까? 의 DC 구성 요소

Y

$\mathbf{Y}$ 첫 번째 행의 내부 제품입니다

T

$\mathbf{T}$ (복합) 벡터로

X

$\mathbf{X}$ . 이것이 어떻게 실제 가치가 될 것인가?

— Matt L.

1

나는 기침에 그 두 행을 채우는 OP에 대한 연습으로 그것을 떠났다 . 그러나 나는 대각선 행렬 만 작동한다는 결론에 도달하지 못했습니다 (당신이 틀렸다고 말하는 것은 아닙니다).

— niaren

나는 정말로 틀릴지도 모른다. 더 많은 시간을 가질 때 다시 생각할 것입니다 ... 다음과 같이합시다. 대각 행렬 (공액 대칭 포함)은 어떤 경우에도 작동합니다.

— Matt L.

-1

내가 유일한 해결책을 잘못 생각하지 않으면 $\mathbf{T}$ 이것은 벡터와 무관합니다 $\mathbf{X}$ 는 대각 (복합) 행렬이며, 여기서 대각은 복소 공액 대칭을 만족시킨다.

편집 : 좋아, 나는 착각했다. 대각선은 괜찮지 만 필요하지는 않습니다. 매트릭스 $\mathbf{T}$ 다음과 같은 일반적인 구조를 가져야합니다. $t_{11}$ 과 $t_{N/2+1,N/2+1}$ 실제 값이어야합니다 (DC 및 Nyquist에 해당). 와는 별개로 $t_{11}$ 첫 번째 행과 열에는 0 만 포함됩니다. 요소 $t_{22}$ 에 $t_{N/2,N/2}$ 중재를 선택했다 $(N/2-1)\times (N/2-1)$ 매트릭스. 그런 다음이 중재 행렬을 사용하여 모든 행을 바꾸고 (첫 번째 행이 마지막 행이되고, 두 번째 행이 두 번째 마지막 행이되는 등) 새 행을 왼쪽에서 오른쪽으로 뒤집고 활용하여 새 행렬을 만듭니다. 그런 다음이 하위 행렬을 총 행렬의 오른쪽 아래 모서리에 놓습니다. $\mathbf{T}$ . 다른 모든 요소 $\mathbf{T}$ 0이어야합니다. 시각화가 없으면 이해하기가 다소 어렵다는 것을 알고 있으므로 나중에 시간이 더 필요할 때 추가하겠습니다.

— 맷 L.
소스