어떤 IIR 필터가 가우스 필터와 비슷합니까?

Bessel 필터는 다른 일반적인 유형과 함께 나열되어 있지만 실제로 다른 "클래스"에 속하는 홀수 볼이며, 이에 대해 자세히 배우려고합니다.

직사각형 크기 응답은 이상적인 주파수 도메인 응답을 나타냅니다. 전이 대역이 0이고 정지 대역에 무한 감쇠가 있기 때문입니다. 반면 가우스 크기 응답은 임펄스 응답 및 단계 응답에서 오버 슈트가 발생하지 않는다는 점에서 이상적인 시간 영역 응답을 나타냅니다. 실제로 달성 응답의 대부분은 이러한 이상적인 것들에 대한 대략의 ^소스

그래서 된 brickwall 필터 싱크 함수를 컨볼 루션하고,이 주파수 영역의 특성을 갖는다 :

• 플랫 패스 밴드
• 제로 저지 대역
• 무한 롤오프 속도 / 전이 대역 없음

양방향으로 무한 꼬리 때문에 인과 적이 지 않고 실현 불가능합니다. 이 IIR 필터에 의해 근사되며 순서가 증가함에 따라 근사치가 개선됩니다.

• 버터 워스 (최대 플랫 패스 밴드)
• 체비 쇼프 (스톱 밴드 또는 최대 롤오프 속도 또는 밴드 패스 밴드 리플을 )
• 타원 (스톱 밴드 와 최대 롤오프 속도 밴드 통과 대역 리플 )
• Legendre (단조 통과 대역을 사용한 최대 롤오프 속도)

가우시안 필터는 가우시안 함수와 컨벌루션되어이 시간 도메인 특성을 갖는다 :

• 오버 슈트 제로
• 최소 상승 및 하강 시간
• 최소 그룹 지연

sinc 함수와 같은 이유로 구현할 수 없으며, 순서가 증가함에 따라 이러한 IIR 필터로 근사화 할 수 있습니다.

• ^{1 과 2 에 따른} 선박 (최대 그룹 지연)

$e^{-{1 \over 2}(\pi \omega)^2}$

그래서 내 질문은 :

지금까지 모든 것이 정상입니까? 그렇다면 가우시안에 가까운 다른 IIR 필터가 있습니까? 무엇에 최적화되어 있습니까? 아마도 오버 슈트를 최소화하는 것일까 요?

"IIR Gaussian"을 검색하면 몇 가지 항목 (Deriche? van Vliet?)을 찾을 수 있지만 실제로 Bessel과 동일한 지 또는 다른 속성 등에 최적화되었는지는 알 수 없습니다.

Deriche 및 반 Vliet 고 필터는 추론이다. 두 경우 모두 RMS 차이 또는 가우스로부터의 필터 임펄스 응답의 최대 차이를 최소화하기 위해 극점과 영점의 위치를 ​​선택합니다.

두 필터는 인과 관계와 인과 관계가 아닙니다. 따라서 위상 오류 또는 그룹 지연이 없다고 생각하지만 데이터뿐만 아니라 앞으로도 실행할 수 있어야합니다. 이것은 이미지 처리에서 인기를 얻지 만 다른 곳에서는 적용 가능성을 제한합니다.

그것들이 휴리스틱이라는 것은 그것들을 조정 한 많은 논문들에 의해 증명됩니다. 예를 들어 (내가 Deriche 용지에 대한 링크를 찾고있는 동안) Google 검색이 켜져 이 하나의 시도가 Deriche 파생 상품의 가우시안 필터는 정확히 0 DC 응답을하지 않는 문제를 해결하는 것으로합니다. 경계 조건을 올바르게 초기화하는 데 대한 흥미로운 문제 도 있습니다 .

나는 다음과 같은 훌륭한 자료를 발견했다. Dave Hale, 재귀 가우스 필터 , 콜로라도 광역 대학 파동 현상 보고서 CWP-546.

불연속 IIR 필터에 대한 기존 분석 솔루션을 요약 한 것으로 생각합니다. 그러나 이상적인 주파수 선택 필터 특성과 비슷한 필터 목록에 베셀 필터를 추가합니다. 크기 응답은 동일한 순서의 다른 필터 유형과 같이 급격한 전환을 나타내지 않지만 통과 대역에서 거의 선형 위상에 대해 지불하는 가격입니다. 따라서 Bessel 필터는 주파수 선택 크기 응답과 우수한 위상 응답 사이의 절충입니다.

IIR 필터를 사용하여 가우시안 필터를 근사하기 위해 언급 한 베셀 필터를 제외하고는 분석 솔루션을 모릅니다. 그러나 베셀 필터는 가우스 필터를 근사하기위한 것이 아니므로 그러한 필터를 근사화하는 데 실제로 얼마나 좋은지 잘 모르겠습니다. 이 목적으로 IIR 필터를 정말로 원한다면 가우시안 필터의 수치 근사치를 사용하는 것이 좋습니다. 이를 수행하는 방법에는 몇 가지 옵션이 있습니다.

주파수 영역에서 가우시안 필터를 근사화 할 수 있습니다. 문제는 원하는 위상 응답과 관련하여 일부 결정을 내려야한다는 것입니다. 최소 위상 응답을 갖는 순수한 크기 근사값은 시간 영역 속성이 매우 열악 할 수 있습니다. 원하는 선형 위상을 지정하면 복잡한 근사치 문제가 발생합니다 (크기와 위상으로 복잡한 주파수 응답을 근사하기 때문). 이러한 근사 문제가 해결하기가 매우 어려울 수 있지만 문헌에는 방법이 있습니다.

더 간단하고 더 나은 방법은 시간 영역에서 가우스 필터를 근사화하는 것입니다. Prony의 방법은 좋은 출발점이 될 것입니다.

이것들은 주제에 대한 나의 생각 일뿐입니다. IIR Gaussian 필터를 직접 설계하지 않았습니다. 반대 이유가없는 한 실제로 FIR 구현을하려고합니다.

편집 : 베셀 필터가 가우시안에 가까운 지 여부에 관한 질문에 대해 몇 가지 더 언급하십시오. 가우시안 필터를 근사 할 때 베셀 필터가 최소화하는 의미있는 오류 기준을 알지 못합니다. 그래도 그것에 대해 배우게되어 기쁩니다. 사람들은 베셀 필터의 임펄스 응답이 가우시안과 비슷하거나 주파수 응답이 가우시안과 비슷하다고 주장하지만 베셀 필터가 가우시안에 근사하다는 어떤 증거도 보지 못했지만 근사 오차는 필터 차수가 증가함에 따라 0입니다. 다른 표준 필터 (Butterworth, Chebyshev 등)보다 가우시안과 더 유사하다는 것을 부정하지는 않지만 질문에 중요하지 않습니다.

옥타브 (기능 자체)로 설계된 베셀 필터 (5, 10, 15, 20 차 순서)의 임펄스 응답에 대한 4 가지 플롯을 아래에서 참조하십시오. 보시다시피, 꼬리의 울림은 필터 순서가 증가함에 따라 감소하지 않으며, 이러한 필터가 가우시안에 어떻게 근접하는지, 그리고 그렇다면 어떤 최적 기준에 따라 보이지 않습니다. 그러나 아무도 이것에 대해 나를 밝힐 수 있다면 나는 행복 이상입니다.