역 Wishart 분산 행렬의 대각선의 한계 분포

가정 . 대각선 요소 의 한계 분포에 관심이 있습니다. 의 하위 행렬 분포에 대한 몇 가지 간단한 결과가 있습니다 (적어도 일부는 Wikipedia에 나열되어 있음). 이를 통해 대각선에있는 단일 요소의 한계 분포가 역 감마임을 알 수 있습니다. 그러나 공동 분포를 추론 할 수 없었습니다. $X\sim \operatorname{InvWishart}(\nu, \Sigma_0)$ $\operatorname{diag}(X) = (x_{11}, \dots, x_{pp})$ $X$

나는 그것이 다음과 같이 구성에 의해 파생 될 수 있다고 생각했다.

피 ({엑스}_{11} | {엑스}_{나는 나는}, 나는 > 1) 피 ({엑스}_{22} | {엑스}_{나는 나는}, 나는 > 2) \dots 피 ({엑스}_{(피 - 1) (피 - 1)} | {엑스}_{피 피}) 피 ({엑스}_{피 피}),

$p(x_{11} | x_{ii}, i\gt 1)p(x_{22}|x_{ii}, i>2)\dots p(x_{(p-1)(p-1)}|x_{pp})p(x_{pp}),$

그러나 나는 그것으로 아무데도 얻지 못했고 단순한 것을 놓치고 있다고 의심합니다. 이것은 "필수"인 것으로 보이지만 나는 그것을 찾거나 보여줄 수 없었습니다.

distributions probability pdf

— JMS
소스

Bilodeau와 Brenner의 제안 7.9 (pdf는 웹에서 무료로 구할 수 있음)는 Wishart에 대한 유망한 결과를 제공합니다 (아마도 역 Wishart에 적용). 만약 당신이 분할 와 같은 블록 , 다음 그대로, Wishart입니다 이며 독립적입니다.

X

$X$

X_{11}, X_{12}; X_{21}, X_{22}

$X_{11},X_{12};X_{21},X_{22}$

X_{22}

$X_{22}$

X_{11} - X_{12} X_{22}^{- 1} X_{21}

$X_{11} - X_{12}X_{22}^{-1}X_{21}$

— shabbychef

이 제안은 전체 행렬을 아는 경우에만 적용됩니다. 대각선 만 가지고 있다면 변환을 수행 할 수 없습니다.

X_{12}

$X_{12}$

— petrelharp

일반적으로 공분산 행렬을 와 같이 분산 상관 분해로 분해 할 수 있습니다. 여기서 는 단위 대각선이 상관 행렬입니다 . 따라서 의 대각 항목 은 이제 분산 의 대각 행렬의 일부입니다 . 분산 행렬의 오프 대각 항목은 0 이므로 찾고자하는 관절 분포는 각 대각 엔트리의 한계 분포의 곱입니다.

Σ = 진단하다 (Σ) 큐 진단하다 (Σ)^{⊤} = 디 큐 디^{⊤}

$\Sigma = \text{diag}(\Sigma) \ Q \ \text{diag}(\Sigma)^\top = D\ Q \ D^\top$

Q

$Q$

q_{i i} = 1

$q_{ii} = 1$

Σ

$\Sigma$

D = [D]_{i i} = [Σ]_{i i}

$D = [D]_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

d_{i j} = 0, i \neq j

$d_{ij} = 0, \ i \ne j$

이제 차원 공분산 행렬 대한 표준 역 -Wishart 모델을 고려하십시오. $d$ $\Sigma$

Σ \sim 나는 여 (ν + 디 - 1, 2 ν Λ), ν > 디 - 1

$\Sigma \sim \mathcal{IW}(\nu +d -1, 2\nu \Lambda), \quad \nu > d-1$

의 대각선 요소 가장자리로 분산 $\sigma_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

σ_{나는 나는} \sim inv- χ^{2} (ν + 디 - 1, \frac{λ_{나는 나는}}{ν - 디 + 1})

$\sigma_{ii} \sim \text{inv-$\chi^2$}\left(\nu+d-1,\frac{\lambda_{ii}}{\nu -d + 1}\right)$

서로 다른 분산 상관 분포로 분해되는 공분산 행렬에 대한 다양한 선행 사항에 대한 훌륭한 참고 자료가 여기에 제공 됩니다.

— 사용자 3303
소스