이전 코인 플립의 결과가 후속 코인 플립에 대한 신념에 영향을 미치는 통계적 오류의 이름은 무엇입니까?

우리 모두 알다시피, 꼬리처럼 머리를 착륙시킬 확률이 같은 동전을 뒤집 으면 동전을 여러 번 뒤집 으면 머리를 얻는 시간의 절반, 꼬리를 얻는 시간의 절반이됩니다.

친구와 이것을 토론 할 때, 동전을 1000 번 뒤집고 머리에 처음으로 100 번 착륙한다고하면 꼬리를 착륙 할 확률이 증가했습니다 (논리적 편견이 없다면 논리, 그런 다음 1000 번 뒤집을 때 약 500 개의 머리와 500 개의 꼬리가 있으므로 꼬리가 더 많이 있어야합니다.

과거의 결과는 미래의 결과에 영향을 미치지 않기 때문에 오류가된다는 것을 알고 있습니다. 특정 오류에 대한 이름이 있습니까? 또한 왜 이것이 잘못된 지에 대한 더 나은 설명이 있습니까?

이것을 도박꾼의 잘못 이라고합니다 .

이 질문의 첫 문장은 또 다른 (관련된) 오류를 포함합니다.

"우리 모두 알다시피, 꼬리처럼 머리를 착륙시킬 확률이 같은 동전을 뒤집 으면 동전을 여러 번 뒤집 으면 머리를 얻는 시간의 절반, 꼬리를 얻는 시간의 절반이됩니다 ."

아니, 우리는 그것을 얻지 못할 것입니다, 우리는 절반의 시간과 절반의 시간을 가지지 않을 것입니다. 우리가 그것을 얻으려면, 도박꾼은 결국 그렇게 잘못하지 않을 것 입니다. 이 구두 진술에 대한 수학적 표현은 다음과 같습니다. 일부 "큰"(그러나 유한) , . 여기서 는 동전이 머리에 닿는 횟수 은 유한 하기 때문에 은 유한하며 과 다른 값입니다 . 플립이 만들어진 후에 는 어떻게됩니까 ? 머리에 착륙 했는가. 두 경우 모두n h = n $n'$ nhn'n'+1n'n'+1n$n_{h} = \frac {n'}{2}$$n_{h}$$n'$$n'+1$$n'$$n'+1$$n_h$ "토스 수의 절반"과 같지 않습니다.

그러나 아마도 우리가 실제로 의미 한 것은 "상상할 수 없을 정도로 큰" 이었습니까? 그런 다음 우리는$n$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2}$$

그러나 여기서 RHS ( "오른쪽") 은 LHS ( "왼쪽")에 의해 무한대로 넘어간 을 포함 합니다. 따라서 RHS도 무한대 이므로이 진술에 따르면 동전에 무한 횟수를 던지면 동전이 땅에 닿는 횟수는 무한대와 같습니다 ( 로 나누는 것은 무시할 수 있음).$n$$2$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2} = \infty$$

이것은 본질적으로 정확하지만 쓸모없는 진술 이며 분명히 우리가 생각한 것은 아닙니다.

전체적으로, "총 토스"가 유한 한 것으로 간주되는지 여부에 관계없이 문제의 진술은 유지되지 않습니다.

아마도 우리는

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac {n_{h}}{n} = \frac 1{2} \;\;?$$

첫째, 이것은 "토스 개수가 무한대 인 경향이있을 때 총 토스 개수에 대한 랜딩 헤드 수의 비율은 값이되는 경향"으로 해석됩니다 . 이리. 또한, 이것은 상대 주파수의 결정적 한계로서 확률 이 여전히 때때로 인식되는 방식 입니다. 이 진술의 문제점은 LHS에 불확실한 형태를 포함한다는 것입니다. 분자와 분모는 모두 무한대로갑니다. $1/2$

흠, 랜덤 변수 무기고를 가져 오자. 번째 던지기가 헤드에 올 경우 값 , 꼬리가 올 경우 을 가져 오는 임의 변수 를 정의하십시오 . 그러면 우리는 1 i 0 n $X_i$$1$$i$$0$

$$\frac {n_{h}}{n} = \frac 1n \sum_{i=1}^nX_i$$

이제 적어도 상태를 말할 수 있을까요

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i = \frac 1{2} \;\;?$$

없음 . 결정적인 한계입니다. 그것은 의 시퀀스에 대한 모든 가능한 실현을 허용 하므로, 과 같더라도 한계가 존재할 것이라는 보장조차하지 않습니다 . 실제로 이러한 진술은 순서에 대한 제약 으로 만 볼 수 있으며 토스의 독립성을 파괴합니다.(1) /$X$$1/2$

우리 가 말할 수있는 것은,이 평균 합 은 확률 ( "약하게")에서 (베르누이-약한 법칙 )으로 수렴한다는 것 입니다 .$1/2$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\text {Pr}\left(\left|\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i-\frac 12 \right|<\varepsilon\right) =1 , \;\;\;\forall \varepsilon >0$$

그리고 고려중인 경우, 거의 확실하게 수렴된다 ( "강하게") (Borel -Strong Law of Large Numbers)

$$\text {Pr}\left(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i=\frac 12 \right) =1 , \;\;\;$$

그러나 이들은 과 의 차이와 관련된 확률 에 대한 확률 적 진술 이며, 차이의 한계에 대해서는 (거짓 진술에 따르면 0이 아니어야 함). $n_h/n$$1/2$$n_h-n_t$

분명히, 이 두 진술 을 실제로 이해 하기 위해서는 전적으로 지적 노력이 필요하며, 이전 진술과 어떻게 다른지 ( "이론"과 "연습") 어떻게 다른지 이해해야합니다.

이 오류는 많은 이름을 가지고 있습니다.

1) 아마 도박꾼의 오류 로 가장 잘 알려져 있습니다.

2) 때때로 ' 작은 수 의 법칙 '( 여기서도 참조 ) 이라고도 합니다 (인구 특성이 작은 표본에 반영되어야한다는 생각과 관련이 있기 때문입니다). 불행히도 같은 이름이 Poisson 분포에 적용되기도하고 (수학자들이 또 다른 의미로 사용하기도하므로) 혼동 될 수 있습니다.

3) 오류를 믿는 사람들 사이에서 때때로 ' 평균 법칙 '이라고 불리며, 특히 결과가 '완료'되었다고 주장하기 위해 어떤 결과없이 달리기 후에 호출되는 경향이 있지만 물론 그러한 단기는 아닙니다. 초기 불균형을 '보상'하는 법은 존재 하지 않습니다 . 초기 불일치가 사라지는 유일한 방법 은 평균 1/2 값을 갖는 나중 값의 양에 의한 것입니다 .

공정한 동전을 반복적으로 던지는 실험을 생각해보십시오. 하자 헤드의 숫자와 꼬리의 수는 년 말까지 관찰 할 번째 시험. 참고$H_i$$T_i$$i$$i=H_i+T_i$

장기적으로 (즉, ) 은 확률로 수렴 한다는 점에 주목하는 것이 흥미 롭습니다 . 을 증가시키면서 자라며 실제로는 경계없이 자랍니다. "0으로 다시 밀어 넣는 것"은 없습니다.$n\to\infty$$\frac{H_n}{n}$$\frac{_1}{^2}$$E|H_n-T_n|$$n$

당신은 'stochastic'을 생각하고 있습니까? 공정한 동전 뒤집기 (또는 공정한 주사위 굴림)는 그러한 동전의 이전 뒤집기에 의존하지 않는다는 의미에서 확률 적 (즉, 독립적)입니다. 공정한 사기를 가정하면, 동전이 백 번 머리로 백 번 뒤집혔다는 사실은 다음 번 플립이 50/50의 기회가 있다는 사실을 바꾸지 않습니다.

대조적으로, 어떤 카드를 교체하지 않고 카드 덱에서 특정 카드를 뽑을 가능성은 확률이 낮습니다. 특정 카드를 뽑을 가능성이 다음 추첨에서 카드를 뽑을 가능성이 바뀌기 때문입니다. 확률 적 일 것입니다).

Glen_b와 Alecos의 반응에 더하여 을 첫 번째 n 시행 의 헤드 수로 정의합시다 . 이항에 대한 정규 근사법을 사용하는 익숙한 결과는 X n 이 대략 N ( n / 2 , $X_n$$n$$X_n$. 이제 처음 100 번의 토스를 관찰하기 전에X 1000 이 500에 가까워 질가능성이 높다는 것이 친구의 말입니다. 사실,$N(n/2, \sqrt{n/4})$$X_{1000}$

.$P( 469 < X_{1000} < 531) \approx .95$

$X_{100} =100$$Y_{900}$

$P( 469 < X_{1000} < 531 \mid X_{100}=100) = P( 369 < Y_{900} < 431) \approx .1$

$Y_{900}$$N(450, 15)$

따라서, 처음 100 번의 시도에서 100 개의 헤드를 관찰 한 후, 동전이 공정하다고 가정 할 때, 처음 1000 번의 시도에서 500 번에 가까운 성공을 관찰 할 가능성이 더 이상 없습니다. 이는 초기 불균형이 단기적으로 보상 될 가능성이 없음을 나타내는 구체적인 예입니다.

$n=1,000,000$

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980) \approx .95$

그러나 처음 100 번의 토스에서 불균형의 영향은 장기적으로 무시할 수 있습니다.

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980 \mid X_{100} = 100) = P( 498,920 < Y_{999,900} < 500880) \approx .949$

당신은로 다스 려하는 도박사의 오류 이 있지만, 하지 전적으로 올바른.

실제로 " 추정 된 공정한 동전이 주어지고 주어진 결과 시퀀스를 관찰한다면, 동전의 기본 확률의 추정치는 무엇입니까?"

실제로 " 오류 "는 다양한 제품의 제품이 동일한 공정한 동전과 만 관련이 있습니다. 그러나 이것은 또 다른 (비대칭 / 바이어 싱) 확률 분포를 갖는 동전을 가진 유사한 경우 (연구)와 대조되는 해석을 필요로한다.

이것에 대한 추가 논의 (그리고 약간의 왜곡)는이 질문을 참조하십시오 .

이것은 상관 관계가 인과 관계를 의미하는 많은 통계 연구에서 사용 된 오류 와 정확히 같습니다 . 그러나 인과 관계 또는 일반적인 원인 의 힌트 일 수 있습니다.

참고로, 머리 나 꼬리가 연속으로 늘어날 경우 동전이 공정하다고 가정 한 이전 가정을 다시 방문하는 것이 좋습니다 .