순간 생성 함수와 푸리에 변환?

모멘트 생성 함수 는 확률 밀도 함수 의 푸리에 변환 입니까?

다시 말해, 모멘트 생성 함수는 랜덤 변수의 확률 밀도 분포의 스펙트럼 분해능, 즉 파라미터 대신 진폭, 위상 및 주파수 로 함수를 특성화하는 동등한 방법 일까요?

그렇다면이 짐승에게 물리적 해석을 해줄 수 있습니까?

통계 물리학 에서 순간 생성 함수 의 로그인 누적 생성 함수 는 물리적 시스템을 특징 짓는 추가 수량 이기 때문에 묻습니다 . 에너지를 랜덤 변수로 생각하면 누적 생성 함수는 시스템 전체에 에너지가 퍼지는 것처럼 매우 직관적으로 해석됩니다. 모멘트 생성 기능에 대한 유사한 직관적 해석이 있습니까?

나는 그것 의 수학적 유용성 을 이해 하지만, 그것은 단지 트릭 개념이 아니며, 개념적으로 그 뒤에 의미가 있습니까?

moments mgf cumulants

— 볼테 파
소스

푸리에 변환과 더 유사한 특징적인 기능이라고 생각합니다. 모멘트 생성 기능은 라플라스 변환입니다.

— Placidia

흥미로운 점 : "라플라스 변환은 푸리에 변환과 관련이 있지만 푸리에 변환은 함수 또는 신호를 진동 모드로 해석하지만 라플라스 변환은 함수를 순간으로 해석합니다" princeton.edu/~achaney/tmve/wiki100k/ docs /… 그렇다면 문제는 다음과 같습니다. Laplace 변환은 함수를 순간적으로 어떻게 분해하고 기하학적 해석이 있습니까?

— bolbteppa

지수 함수의 Taylor 시리즈 확장 덕분에 가능합니다.

— Placidia

이제 모든 것이 거의 의미가 있습니다! 그러나 직관적으로 순간은 정확히 무엇입니까? "이 순간을 광범위하게 말하면 샘플이 신호의 평균값과 어떻게 다른지 고려할 수 있습니다. 첫 번째 순간은 실제로 평균이고 두 번째 순간은 분산 등입니다." dsp.stackexchange.com/a/ 11032 그러나 그것은 직관적으로 무엇을 의미합니까? x ^ 2 (x ^ 2의 라플라스 변환 수행)의 첫 번째 / 2nd / 3rd / 4 번째 모멘트를 계산할 때 샘플은 무엇입니까? 기하학적 해석이 있습니까?

— bolbteppa

MGF는

$M_{X}(t)=E\left[ e^{tX} \right]$

기대 값이 존재하는 실제 값 . 확률 밀도 함수 관점 에서 $t$ $f(x)$

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x) dx.$

이것은 푸리에 변환이 아닙니다 ( 대신 가 있음) . $e^{itx}$ $e^{tx}$

모멘트 생성 함수는 거의 양면 라플라스 변환이지만 양면 라플라스 변환에는 대신 있습니다. $e^{-tx}$ $e^{tx}$

— 브라이언 보처 스
소스

+1 제쳐두고 : 특성 함수는 푸리에 변환과 더 밀접한 관련이있는 함수입니다 (이 경우 다시 마이너스 부호의 작은 문제가 있음). cf는 이지만 -곱셈 상수까지-일반적인 푸리에 변환은 입니다. 이러한 연결은 일반적으로 직접 전달되는 푸리에 또는 라플라스 변환의 유용한 속성 목록을 찾거나 MGF 또는 cfs를 찾을 때 푸리에 또는 라플라스 변환의 광범위한 테이블을 찾을 수있는 것과 같이 때때로 매우 유용합니다.

E (e^{i t X})

$E(e^{itX})$

E (e^{- i t X})

$E(e^{-itX})$

— Glen_b-복지 주 모니카

물론 가장 유용한 속성은 두 개의 독립적 인 랜덤 변수의 합의 MGF가 모멘트 생성 함수의 곱이라는 것입니다. 이것은 두 함수의 컨벌루션의 푸리에 변환이 푸리에 변환의 곱이라는 규칙과 같습니다.

— Brian Borchers 2014 년