혼합 순서에 따른 '비 혼합'부품 분포

iid로 그려진 관측치를 위한 . 하자 에 의해 나타내고 의 제 큰 관측 값 . 의 (조건부) 분포는 무엇입니까 ? (또는 와 동일 )$X_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_x^2\right), Y_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_y^2\right),$$i=1,2,\ldots,n$$Z_i = X_i + Y_i,$$Z_{i_j}$$j$$Z$$X_{i_j}$$Y_{i_j}$

즉, 에 대한 조건부 분포 는 의 관측 값 중 번째로 큰 것 입니까?$X_i$$Z_i$$j$$n$$Z$

내가 추측 오전과 ,의 분포 그냥 무조건 분포 수렴 , 같은 동안 의 분포 는 의 차 통계량의 무조건 분포로 수렴됩니다 . 그러나 중간에 나는 확실하지 않다.$\rho = \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \to 0$$X_{i_j}$$X$$\rho \to \infty$$X_{i_j}$$j$$X$

랜덤 변수는 $i_j$ 의 기능이다 $\mathbf{Z} = (Z_1, \ldots, Z_n)$뿐. 대한$n$-벡터, $\mathbf{z}$, 우리는 쓴다 $i_j(\mathbf{z})$ 의 색인 $j$가장 큰 좌표. 또한 보자$P_z(A) = P(X_1 \in A \mid Z_1 = z)$ 조건부 분포를 나타냅니다 $X_1$ 주어진 $Z_1$.

가치에 따라 확률을 세분화하면 $i_j$ wrt를 해체 $\mathbf{Z}$ 우리는 얻는다

$$\begin{array}{rcl} P(X_{i_j} \in A) & = & \sum_{k} P(X_k \in A, i_j = k) \\ & = &\sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid \mathbf{Z} = \mathbf{z}) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid Z_k = z_k) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P_{z_k}(A) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \int P_{z}(A) P(Z_{i_j} \in dz) \\ \end{array}$$

이 주장은 매우 일반적이며 명시된 iid 가정에만 의존합니다. $Z_k$ 주어진 기능이 될 수 있습니다 $(X_k, Y_k)$.

정규 분포 가정 (취하기) $\sigma_y = 1$) 및 $Z_k$ 합계, 조건부 분포 $X_1$ 주어진 $Z_1 = z$ 이다

$$N\left(\frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2} z, \sigma_x^2\left(1 - \frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2}\right)\right)$$ @probabilityislogic은 분포를 계산하는 방법을 보여줍니다. $Z_{i_j}$따라서 우리는 위의 마지막 적분에 입력되는 두 분포 모두에 대해 명시적인 표현을합니다. 적분을 분석적으로 계산할 수 있는지 여부는 또 다른 질문입니다. 당신은 할 수는 있지만, 내 머리 꼭대기에서 가능한지 알 수 없습니다. 다음과 같은 경우 점근 분석$\sigma_x \to 0$ 또는 $\sigma_x \to \infty$ 필요하지 않을 수도 있습니다.

위 계산의 직관은 이것이 조건부 독립 주장이라는 것입니다. 주어진$Z_{k} = z$ 변수 $X_{k}$ 과 $i_j$ 독립적입니다.

분포 $Z_{i_{j}}$ 어렵지 않으며 Beta-F 화합물 분포로 제공됩니다.

$$p_{Z_{i_{j}}}(z)dz=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dz$$

어디 $\phi(x)$ 표준 일반 PDF이며 $\Phi(x)$ 표준 일반 CDF이며 $\sigma_{z}^{2}=\sigma_{y}^{2}+\sigma_{x}^{2}$.

지금 당신이 그것을 주어진다면 $Y_{i_{j}}=y$그런 다음 $X_{i_{j}}$ 일대일 함수입니다 $Z_{i_{j}}$즉 $X_{i_{j}}=Z_{i_{j}}-y$. 그래서 저는 이것이 야곱의 규칙을 간단히 적용해야한다고 생각합니다.

$$p_{X_{i_{j}}|Y_{i_{j}}}(x|y)=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dx$$

이것은 너무 쉬운 것처럼 보이지만 그것이 맞다고 생각합니다. 잘못 표시되어 기쁘다.