회귀 평균 차이에 대한 신뢰 구간

이차 회귀 모형이 있다고 가정합니다.

$$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \epsilon$$ 오류는 이 일반적인 가정을 만족시킨다 (독립, 정상, 값 과 무관 ). 하자 최소 제곱 추정합니다.$\epsilon$$X$$b_0, b_1, b_2$

두 개의 새로운 값 과 가 있고 대한 신뢰 구간을 얻는 데 관심이 있습니다 .$X$$x_1$$x_2$$v = E(Y|X = x_2) - E(Y|X=x_1) = \beta_1 (x_2 - x_1) + \beta_2 (x_2^2 - x_1^2)$

점 추정치는 이고 (잘못되면 수정) 분산을 추정 할 수 있습니다 는 소프트웨어에서 제공 한 계수의 분산 및 공분산 추정을 사용합니다.$\hat{v} = b_1 (x_2 - x_1) + b_2 (x_2^2 - x_1^2)$

$$\hat{s}^2 = (x_2 - x_1)^2 \text{Var}(b_1) + (x_2^2 - x_1^2)^2 \text{Var}(b_2) + 2 (x_2 - x_1)(x^2 - x_1^2)\text{Cov}(b_1, b_2)$$

나는 정상적인 근사치를 사용 걸릴 수 있습니다 에 대한 95 % 신뢰 구간으로 또는 I는 부트 스트랩 신뢰 구간을 사용할 수 있지만 작업 할 수있는 방법은 정확한 유통에서가 그리고 그것을 사용합니까?$\hat{v} \pm 1.96 \hat{s}$$v$

찾고있는 일반적인 결과는 다음과 같습니다. $p$ 예측 변수 (두 개가 있고 $X$ 과 $X^2$) 및 가로 채기 $n$ 관찰, $\mathbf{X}$ 그만큼 $n \times (p+1)$ 디자인 매트릭스, $\hat{\beta}$ 그만큼 $p+1$ 치수 추정기 및 $a \in \mathbb{R}^{p+1}$

$$\frac{a^T\hat{\beta} - a^T \beta}{\hat{\sigma} \sqrt{a^T(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}a}} \sim t_{n-p-1}.$$

결과적으로 모든 선형 조합에 대한 신뢰 구간을 구성 할 수 있습니다. $\beta$ 같은 것을 사용하여 벡터 $t$-분포를 사용하여 좌표 중 하나에 대한 신뢰 구간을 구성합니다.

귀하의 경우 $p = 2$ 과 $a^T = (0, x_2 - x_1, x_2^2 - x_1^2)$. 위 공식의 분모는 표준 오류의 추정치로 계산 한 것의 제곱근입니다 (소프트웨어가 계산하는 것이라면 ...). 분산 추정기,$\hat{\sigma}^2$, (평소) 편견이 아닌 추정량으로 가정합니다. 여기서 자유 도로 나눕니다. $n-p-1$, 관측치 수가 아님 $n$.