카이 제곱 검정 및 카이 제곱 분포 이해

카이 제곱 테스트의 논리를 이해하려고합니다.

카이 제곱 검정은 . χ2는 귀무 가설을 기각하거나 기각하지 않기 위해 p. 값을 찾기 위해 카이 제곱 분포와 비교됩니다. H0: 관측치는 예상 값을 생성하는 데 사용한 분포에서 비롯됩니다. 예를 들어, 획득 확률이예상대로p로제공되는지 테스트할 수 있습니다. 그래서 우리는 100 번 뒤집고nH와1-nH를찾습니다. 우리는 우리의 결과를 예상치와 비교하려고합니다 (100⋅p). 우리는 이항 분포를 사용할 수도 있지만 질문의 요점은 아닙니다 ... 질문은 다음과 같습니다.$\chi ^2 = \sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$$\chi ^2$$H_0$head$p$$n_H$ Heads$1-n_H$ tails$100 \cdot p$

귀무 가설 하에서 ∑ ( o b s − e x p ) 2를 왜 설명 할 수 있습니까? 는 카이 제곱 분포를 따르는가?$\sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$

카이 제곱 분포에 대해 아는 것은 의 카이 제곱 분포 가 k 제곱 표준 정규 분포 의 합이라는 것입니다 .$k$$k$

우리는 이항 분포를 사용할 수도 있지만 문제의 핵심은 아닙니다.

그럼에도 불구하고, 그것은 당신의 실제 질문조차도 우리의 출발점입니다. 비공식적으로 다루겠습니다.

이항 사례를보다 일반적으로 고려해 봅시다.

$Y\sim \text{Bin}(n,p)$

$n$$p$$Y$$\min(np,n(1-p))$$np(1-p)$

$(Y-E(Y))^2/\text{Var}(Y)$$\sim\chi^2_1$$Y$

$E(Y) = np$$\text{Var}(Y)=np(1-p)$

$n$$p$$H_0$

$(Y-np)^2/np(1-p)$$\sim\chi^2_1$

$(Y-np)^2 = [(n-Y)-n(1-p)]^2$$\frac{1}{p} + \frac{1}{1-p} = \frac{1}{p(1-p)}$

$\frac{(Y-np)^2}{np(1-p)} = \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{(Y-np)^2}{n(1-p)}\\ \quad= \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{[(n-Y)-n(1-p)]^2}{n(1-p)} \\ \quad= \frac{(O_S-E_S)^2}{E_S}+\frac{(O_F-E_F)^2}{E_F}$

이항 사건에 대한 카이 제곱 통계량입니다.

따라서이 경우 카이 제곱 통계량은 (대략) 표준 정규 확률 변수의 제곱 분포를 가져야합니다.