곱할 수있는 안정적인 분포?

안정된 분포 는 회선에서 변하지 않습니다. 안정적인 분포의 어떤 하위 패밀리 도 곱셈으로 닫힙니 까? 감각이 경우 F ∈ F 및 g ∈ F , 다음 제품 확률 밀도 함수 F ⋅ g (최대 정규화 상수) 또한 속한다 F ?$F$$f\in F$$g\in F$$f \cdot g$$F$

참고 : 이 질문의 내용을 크게 변경했습니다. 그러나 아이디어는 본질적으로 동일하며 훨씬 간단합니다. 나는 부분적으로 만 대답했기 때문에 괜찮다고 생각합니다.

$\alpha\in(0,2]$ $\beta\in[-1,1]$

$f$$\alpha \lt 2$

$g$$g$$x$$x$$|x|^{-2(1+\alpha)}$$2(1+\alpha)\ne 1+\alpha$

$3(1+\alpha) \ne 1+\alpha^\prime$$\alpha^\prime\in(0,2]$

$\alpha=2$$\exp(-(x-\mu)^2/(2\sigma^2))$$\mu$$\sigma$$x$$x$

따라서 고유 한 대답 은 정규 분포 계열이 유일한 밀도 밀도 폐쇄 안정 분포라는 것입니다.

나는 이것이 부분적인 대답이라는 것을 알고 나는 전문가가 아니지만 이것이 도움이 될 수 있습니다 : 두 개의 unimodal pdfs 중 하나가 로그 오목면, 그들의 회선은 unimodal입니다. 이 노트 를 통해 Ibragimov (1956) 때문에 . 분명히 둘 다 로그 오목한 경우 컨볼 루션도 로그 오목한 것입니다.

제품 폐쇄와 관련하여 제품 배포에 대해 알고있는 유일한 "깨끗한"결과는 이 math.se answer에 설명 된 한계 정리 입니다.

방법의 잘린 버전에 대한 이 ? 제한된 균일 분포는 모양 모수의 제한적인 사례이며, 내가 알고있는 한, 그것들은 단봉 형이고 로그 오목 형이므로 단봉 형, 로그 오목 형 회선이 있습니다. 나는 그들의 제품에 대한 실마리가 없다. 이번 주 후반에 더 많은 시간을 보내면 일부 시뮬레이션을 실행하여 잘린 오류 분포의 로그 오목 제품이 있는지 확인할 수 있습니다. 어쩌면 Govindarajulu (1966) 가 도움이 될 것입니다.

교차 게시에 대한 정책이 무엇인지 잘 모르겠지만 math.se 사람들이 귀하를 도울 수도 있습니다. 호기심으로 확률 분포에서 대수적 구조를 만들려고합니까?