경험적 CDF 통합

경험적 분포 있습니다. 다음과 같이 계산합니다$G(x)$

    x <- seq(0, 1000, 0.1)
    g <- ecdf(var1)
    G <- g(x)

나는 나타내며 , 즉 h 는 pdf이고 G 는 cdf입니다.$h(x) = dG/dx$$h$$G$

이제 x 의 예상 값 이 약 k 가 되도록 적분의 상한 (예 : )에 대한 방정식을 풀고 싶습니다 .$a$$x$$k$

즉, 에서 b로 적분하면 ∫ x h ( x ) d x = k 가 있어야합니다 . b 를 풀고 싶습니다 .$0$$b$$\int xh(x)dx = k$$b$

부품으로 통합하면 방정식을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

이며, 여기서 적분은 0 에서 b까지입니다 ------- (1)$bG(b) - \int_0^b G(x)dx = k$$0$$b$

나는 다음과 같이 적분을 계산할 수 있다고 생각합니다.

    intgrl <- function(b) {
        z <- seq(0, b, 0.01)
        G <- g(z)
        return(mean(G))
     }

그러나이 기능을 함께 사용하려고하면

    library(rootSolve)
    root <- uniroot.All(fun, c(0, 1000))

fun이 eq (1) 인 경우 다음과 같은 오류가 발생합니다.

    Error in seq.default(0, b, by = 0.01) : 'to' must be of length 1  

문제는 내 함수 intgrl가 숫자 값으로 평가되는 동안 uniroot.All간격을 지나가는 것입니다.c(0,1000)

R 에서이 상황에서 를 어떻게 해결해야 합니까?$b$

$x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n$$G$$x_i$$\gamma$$k$$x_i$$\gamma$$t \ge 1$$x_i$$\gamma$$[\alpha, \beta]$$\gamma$$G$$k/n$$\gamma$$(k+t)/n$$\gamma$

$\int_0^b x h(x) dx$$[\alpha,\beta]$$h$$t/n$$\gamma$$[\alpha,\beta]$

$$\int_\alpha^\beta x h(x) dx = \left(x G(x)\right)\vert_\alpha^\beta - \int_\alpha^\beta G(x) dx = \left(\beta G(\beta) - \alpha G(\alpha)\right) -\int_\alpha^\beta G(x) dx.$$

$\gamma$$G$

$$\int_\alpha^\beta G(x)dx = \int_\alpha^\gamma G(\alpha) dx + \int_\gamma^\beta G(\beta) dx = (\gamma-\alpha)G(\alpha) + (\beta-\gamma)G(\beta).$$

$G(\alpha)=k/n, G(\beta)=(k+t)/n$

$$\int_\alpha^\beta x h(x) dx = \left(\beta G(\beta) - \alpha G(\alpha)\right) - \left((\gamma-\alpha)G(\alpha) + (\beta-\gamma)G(\beta)\right) = \gamma\frac{t}{n}.$$

$X$

$$\frac{t}{n} = \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n}$$

$\gamma$$G$

$$\int_0^b x h(x) dx = \sum_{i:\, 0 \le x_i \le b} \left(x_i\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n}\sum_{x_i\le b}x_i.$$

$1/n$$[0,b]$$1/n$$1/m$$m$$[0,b]$

$k$$b$$\frac{1}{n}\sum_{x_i\le b}x_i = k.$$k$$j$

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{j-1} x_i \le k \lt \frac{1}{n}\sum_{i=1}^j x_i,$$

$b$$[x_{j-1}, x_j)$$b$

---

R다음과 같이 부분 검색을 수행하고 검색 제품군을 cumsum사용하여 지정된 값과 교차하는 위치를 찾습니다 which.

set.seed(17)
k <- 0.1
var1 <- round(rgamma(10, 1), 2)
x <- sort(var1)
x.partial <- cumsum(x) / length(x)
i <- which.max(x.partial > k)
cat("Upper limit lies between", x[i-1], "and", x[i])

지수 분포에서 추출한 데이터의이 예에서 출력은 다음과 같습니다.

상한은 0.39에서 0.57 사이입니다.

$0.1 = \int_0^b x \exp(-x)dx,$$0.531812$

$G$