CDF가 힘을 얻었습니까?

경우 $F_Z$ CDF, 그것과 같다 $F_Z(z)^\alpha$ ( $\alpha \gt 0$ )뿐만 아니라 CDF이다.

Q : 이것이 표준 결과입니까?

Q : 함수를 찾는 좋은 방법이 있는가 $g$ 과 $X \equiv g(Z)$ 일 $F_X(x) = F_Z(z)^\alpha$ , 여기서 $x \equiv g(z)$

기본적으로, 나는 또 다른 CDF, $F_Z(z)^\alpha$ 있습니다. 일부 축소 된 형태의 의미에서 CDF를 생성하는 임의 변수를 특성화하고 싶습니다.

편집 : 특수 사례 대한 분석 결과를 얻을 수 있다면 기쁠 것 $Z \sim N(0,1)$입니다. 또는 적어도 그러한 결과는 다루기 어렵다는 것을 알고 있습니다.

나는 다른 답변을 좋아하지만 아무도 아직 다음을 언급하지 않았습니다. 이벤트는 에만 그리고 만약 발생 { 해요 X ( U , V를 ) ≤ t } 그렇다면, U 및 V는 독립적이다 W = m X ( U , V ) , 다음 F W ( t ) = F U F V ( $\{U \leq t,\ V\leq t \}$$\{\mathrm{max}(U,V)\leq t\}$$U$$V$$W = \mathrm{max}(U,V)$ 그래서 대한 α 는 양의 정수 (예를 들어, α = N ) 받아 X = m X ( Z 1 , . . . Z의 N ) Z 의 인 IID$F_{W}(t) = F_{U}(t)*F_{V}(t)$$\alpha$$\alpha = n$$X = \mathrm{max}(Z_{1},...Z_{n})$$Z$

들어 우리가 얻을 switcheroo 수 F Z = F n은 X를 , 그래서 X는 그 확률 변수 등이 될 것이라고의 최대 $\alpha = 1/n$$F_{Z} = F_{X}^n$$X$$n$ 독립적 인 복사본이 같은 분포가 (그리고 이것은 우리의 친숙한 친구 중 하나가 될 수없는 것 일반적으로). $Z$

의 경우 양 유리수 (예를 들어, α = m / N )부터 이전부터 다음 ( F Z ) m / N = ( F 1 / N Z ) m$\alpha$$\alpha = m/n$

$$\left(F_{Z}\right)^{m/n} = \left(F_{Z}^{1/n}\right)^{m}.$$

들면 무리수 긍정적 유리수의 순서를 선택할 K 집광하는 α ; 그러면 시퀀스 X k (각 k 에 대해 위의 트릭을 사용할 수 있음 )는 원하는 X 에 분포하여 수렴됩니다 .$\alpha$$a_{k}$$\alpha$$X_{k}$$k$$X$

이것은 당신이 찾고있는 특성되지 않을 수도 있지만, 적어도 그것은 생각하는 방법에 대한 몇 가지 아이디어를 제공 에 대한 α 적절하게 좋은합니다. 다른 한편으로, 나는 그것이 얼마나 더 좋은지 정말로 확신하지 못한다 : 당신은 이미 CDF를 가지고 있으므로 체인 규칙에 따라 PDF를 제공하고, 해가 뜰 때까지의 순간을 계산할 수있다 ...? 대부분의 Z 는 α = √에 익숙한 X 를 갖지 않는 것이 사실입니다$F_{Z}^{\alpha}$$\alpha$$Z$$X$ , 그러나 흥미로운 것을 찾기 위해 예제를 가지고 놀고 싶다면F(z)=z,0<z<1을 사용하여 단위 간격에 균일하게 분포 된Z를시도해 볼 수 있습니다.$\alpha = \sqrt{2}$$Z$$F(z) = z$$0<z<1$

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편집 : @JMS 답변에 몇 가지 의견을 썼고 내 산술에 대한 질문이 있었으므로 더 명확하다는 희망에서 무엇을 의미하는지 작성하겠습니다.

@cardinal 제대로 @JMS 응답에 코멘트에 쓴 것과 문제의 단순화 또는 더 일반적으로 때 Z가 필요없는 N ( 0 , 1 ) , 우리 이 X = g - 1 ( Y ) = F - 1 ( F α ( 예를 ) )

$$g^{-1}(y) = \Phi^{-1}(\Phi^{\alpha}(y)),$$ $Z$$N(0,1)$ $$x = g^{-1}(y) = F^{-1}(F^{\alpha}(y)).$$ 내 포인트 때이었다 $F$ 에 좋은 역함수가 있으면 기본 대수 를 사용하여 함수를 풀 수 있다는 것 입니다. 그 주석 쓴 g이 있어야 Y = g ( X ) = F - 1 ( F 1 / α ( X가 ) ) $y = g(x)$$g$ $$y = g(x) = F^{-1}(F^{1/\alpha}(x)).$$

특별한 경우를 살펴보고 플러그를 꽂고 작동 방식을 살펴 보겠습니다. 하자 CDF와 경험치 (1) 분포가 F ( X ) =을 ( 1 - E - X ) , X > 0 , CDF 및 역 F - 1 ( 예를 ) = - LN ( 1 - Y가 ) . g 를 찾기 위해 모든 것을 연결하는 것은 쉽다 ; 완료 되면 y = g ( ln ( 1 $X$

$$F(x) = (1 - \mathrm{e}^{-x}),\ x > 0,$$ $$F^{-1}(y) = -\ln(1 - y).$$ $g$ 그래서, 요약, 내 주장입니다 경우 X ~ E는 X P ( 1 ) 우리가 정의하면 Y를 = - LN ( 1 - ( 1 - 전자 - X ) 1 / α ) , 다음 Y는 CDF가되는 등 외관 F Y ( Y 1 - E - Y ) $$y = g(x) = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-x})^{1/\alpha} \right)$$ $X \sim \mathrm{Exp}(1)$ $$Y = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-X})^{1/\alpha} \right),$$ $Y$ 우리는 이것을 직접 증명할 수 있습니다 ( P ( Y ≤ y )를 보고 대수를 사용하여 표현을 얻으십시오. 마지막 단계에서 확률 적분 변환이 필요합니다). 내가 미쳤던 (종종 반복되는) 경우에, 나는 그것이 작동하는지 다시 확인하기 위해 몇 가지 시뮬레이션을 실행했다. 아래를 참조하십시오. 나는이 두 가지 사실을 사용하여 쉽게 코드를 만들기 위해 : 만약  X ~ F는  다음  U는 = F ( X ) ~ U N I F를 ( 0 , 1 $$F_{Y}(y) = \left( 1 - \mathrm{e}^{-y} \right)^{\alpha}.$$ $P(Y \leq y)$ $$\mbox{If $X \sim F$ then $U = F(X) \sim \mathrm{Unif}(0,1)$.}$$ $$\mbox{If $U \sim \mathrm{Unif}(0,1)$ then $U^{1/\alpha} \sim \mathrm{Beta}(\alpha,1)$.}$$

시뮬레이션 결과는 다음과 같습니다.

플롯 (마이너스 레이블)을 생성하는 데 사용되는 R 코드는

n <- 10000; alpha <- 0.7
z <- rbeta(n, shape1 = alpha, shape2 = 1)
y <- -log(1 - z)
plot(ecdf(y))
f <- function(x) (pexp(x, rate = 1))^alpha
curve(f, add = TRUE, lty = 2, lwd = 2)

잘 어울리는 것 같아요? 어쩌면 내가 미쳤는지 (이번)?

말없는 증거

더 낮은 파란색 곡선은 $F$위 빨간색 곡선은 $F^\alpha$ (사례의 유형화 $\alpha \lt 1$) 및 화살표는 $z$ 에 $x = g(z)$.

Q1) 그렇습니다. 또한 확률 적으로 정렬 된 변수를 생성하는 데 유용합니다. @ whuber 's pretty picture :)에서 이것을 볼 수 있습니다.$\alpha>1$ 확률 론적 순서를 바꿉니다.

유효한 cdf라는 것은 필수 조건을 확인하는 문제 일뿐입니다. $F_z(z)^\alpha$수있다 cadlag , 비 감소 및 한계$1$ 무한대로 $0$ 음의 무한대에서. $F_z$ 이러한 속성이 있으므로 모두 쉽게 표시 할 수 있습니다.

Q2) 분석적으로 어렵지 않은 것 같습니다. $F_Z$ 특별하다