선형 모델에서 공간 공분산을 어떻게 설명 할 수 있습니까?

배경

두 블록 각각에 4 개의 치료 수준과 6 개의 복제물이있는 현장 연구의 데이터가 있습니다. (4x6x2 = 48 개의 관측치)

블록은 약 1 마일 떨어져 있으며 블록 내에 42, 2m x 4m 플롯 그리드와 1m 너비의 산책로가 있습니다. 내 연구는 각 블록에 24 개의 플롯 만 사용했습니다.

공간 공분산을 평가하고 싶습니다.

다음은 공간 공분산을 고려하지 않고 단일 블록의 데이터를 사용하는 분석 예입니다. 데이터 세트에서, plot플롯 ID는 플롯 ID이고, 플롯 1은 0, 0을 중심으로하는 각 플롯 x의 x 위치 및 yy 위치입니다 level. 처리 수준이며 response반응 변수입니다.

layout <- structure(list(plot = c(1L, 3L, 5L, 7L, 8L, 11L, 12L, 15L, 16L, 
17L, 18L, 22L, 23L, 26L, 28L, 30L, 31L, 32L, 35L, 36L, 37L, 39L, 
40L, 42L), level = c(0L, 10L, 1L, 4L, 10L, 0L, 4L, 10L, 0L, 4L, 
0L, 1L, 0L, 10L, 1L, 10L, 4L, 4L, 1L, 1L, 1L, 0L, 10L, 4L), response = c(5.93, 
5.16, 5.42, 5.11, 5.46, 5.44, 5.78, 5.44, 5.15, 5.16, 5.17, 5.82, 
5.75, 4.48, 5.25, 5.49, 4.74, 4.09, 5.93, 5.91, 5.15, 4.5, 4.82, 
5.84), x = c(0, 0, 0, 3, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 6, 9, 9, 12, 12, 12, 
15, 15, 15, 15, 18, 18, 18, 18), y = c(0, 10, 20, 0, 5, 20, 25, 
10, 15, 20, 25, 15, 20, 0, 15, 25, 0, 5, 20, 25, 0, 10, 20, 
25)), .Names = c("plot", "level", "response", "x", "y"), row.names = c(NA, 
-24L), class = "data.frame")

model <- lm(response ~ level, data = layout)      
summary(model)

질문

1. 공분산 행렬을 계산하여 회귀 분석에 포함시키는 방법은 무엇입니까?
2. 블록은 매우 다르며 강력한 블록 상호 작용이 있습니다. 그것들을 개별적으로 분석하는 것이 적절합니까?

1) nlme라이브러리 와 공간 상관을 모델링 할 수 있습니다 . 선택할 수있는 몇 가지 가능한 모델이 있습니다. Pinheiro / Bates의 260-266 페이지를 참조하십시오.

좋은 첫 번째 단계는 바리오 그램을 만들어 상관 관계가 거리에 어떻게 의존하는지 확인하는 것입니다.

library(nlme)
m0 <- gls(response ~ level, data = layout)  
plot(Variogram(m0, form=~x+y))

여기에서 표본 반 변형은 거리가 증가함에 따라 관측 값이 실제로 공간적으로 상관되어 있음을 나타냅니다.

상관 구조의 한 가지 옵션은 구형 구조입니다. 다음과 같은 방식으로 모델링 할 수 있습니다.

m1 <- update(m0, corr=corSpher(c(15, 0.25), form=~x+y, nugget=TRUE))

이 모델은 상관 구조가없는 모델보다 더 적합 해 보이지만 다른 가능한 상관 구조 중 하나를 사용하여 개선 할 수도 있습니다.

> anova(m0, m1)
   Model df     AIC      BIC    logLik   Test  L.Ratio p-value
m0     1  3 46.5297 49.80283 -20.26485                        
m1     2  5 43.3244 48.77961 -16.66220 1 vs 2 7.205301  0.0273

2) 또한 포함 시도해 볼 수도 x와 y직접 모델; 상관 패턴이 단순한 거리 이상에 의존하는 경우에 적합 할 수 있습니다. 귀하의 경우 (sesqu의 사진을 보면) 어쨌든이 블록의 경우 대각선 패턴이있을 수 있습니다.

여기서는 고정 효과 만 변경하기 때문에 m0 대신 원래 모델을 업데이트하므로 모델은 최대한의 가능성을 사용하여 적합해야합니다.

> model2 <- update(model, .~.+x*y)
> anova(model, model2)
Analysis of Variance Table

Model 1: response ~ level
Model 2: response ~ level + x + y + x:y
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F   Pr(>F)   
1     22 5.3809                                
2     19 2.7268  3    2.6541 6.1646 0.004168 **

세 가지 모델을 모두 비교하려면 gls기본 방법 인 REML 대신 최대 가능성 방법을 모두 적용해야합니다 .

> m0b <- update(m0, method="ML")
> m1b <- update(m1, method="ML")
> m2b <- update(m0b, .~x*y)
> anova(m0b, m1b, m2b, test=FALSE)
    Model df      AIC      BIC     logLik
m0b     1  3 38.22422 41.75838 -16.112112
m1b     2  5 35.88922 41.77949 -12.944610
m2b     3  5 29.09821 34.98847  -9.549103

특히 연구에 대한 지식이 있으면 이들 중 어느 것보다 더 나은 모델을 생각해 낼 수 있습니다. 즉, 모델 m2b이 반드시 최고라고 생각할 필요는 없습니다.

참고 :이 계산은 플롯 37의 x- 값을 0으로 변경 한 후에 수행되었습니다.

1) 공간 설명 변수는 무엇입니까? x * y 평면이 공간 효과에 대한 좋지 않은 모델 인 것 같습니다.

i=c(1,3,5,7,8,11,14,15,16,17,18,22,23,25,28,30,31,32,35,36,39,39,41,42)
l=rep(NA,42)[i];l[i]=level
r=rep(NA,42)[i];r[i]=response
image(t(matrix(-l,6)));title("treatment")
image(t(matrix(-r,6)));title("response")

2) 블록이 1 마일 떨어져 있고 30 미터에 불과한 효과를 기대할 때, 개별적으로 분석하는 것이 전적으로 적절하다고 말할 것입니다.