이변 량 포아송 분포 도출

나는 최근에 이변 량 포아송 분포를 만났지만, 그것이 어떻게 도출 될 수 있는지에 대해 약간 혼란스러워했다.

배포판은 다음과 같이 제공됩니다.

$P(X = x, Y = y) = e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})} \displaystyle\frac{\theta_{1}^{x}}{x!}\frac{\theta_{2}^{y}}{y!} \sum_{i=0}^{min(x,y)}\binom{x}{i}\binom{y}{i}i!\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)^{i}$

내가 수집 할 수있는 항은 와 사이의 상관 관계의 척도입니다 . 그러므로 와 가 독립적 일 때 , 이고 분포는 단순히 두 개의 일 변량 푸 아송 분포의 곱이됩니다.$\theta_{0}$$X$$Y$$X$$Y$$\theta_{0} = 0$

이것을 염두에두고, 나의 혼란은 요약 용어를 전제로합니다.이 용어가 와 의 상관 관계를 설명한다고 가정합니다 .$X$$Y$

summand는 "성공"의 확률이 의해 제공되는 이항 누적 분포 함수의 일종 인 것으로 보입니다. 와 "실패"의 확률로 주어진다 때문에그러나 나는 이것으로 벗어날 수 있습니다.$\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)$$i!^{\frac{1}{min(x,y)-i}}$$\left(i!^{\frac{1}{min(x,y)-i!}}\right)^{(min(x,y)-i)} = i!$

누군가이 분포를 어떻게 도출 할 수 있는지에 대한 도움을 줄 수 있습니까? 또한이 모델이 어떻게 다변량 시나리오 (예 : 3 개 이상의 임의 변수)로 확장 될 수 있는지에 대한 답변에 포함될 수 있다면 좋을 것입니다!

(마지막으로, 나는 ( 이변 량 포아송 분포의 이해) 이전에 유사한 질문이 게시 되었지만 실제로 도출되지는 않았다고 지적했다 .)

A의 슬라이드 프리젠 테이션 , 및에 Karlis Ntzoufras이 분포로서 이변 포아송 정의 여기서 독립적 유무 포아송 분포. 그러한 분배 수단을 갖는 것은$(X,Y)=(X_1+X_0,X_2+X_0)$$X_i$$\theta_i$

$$\Pr(X_i=k) = e^{-\theta_i}\frac{\theta_i^k}{k!}$$

위한$k=0, 1, 2, \ldots.$

이벤트 는 이벤트의 분리 된 결합입니다.$(X,Y)=(x,y)$

$$(X_0,X_1,X_2) = (i,x-i,y-i)$$

세 가지 구성 요소를 모두 음이 아닌 정수로 만드는 모든 에 대해 추론 할 수 있습니다 . 는 독립적 이므로 확률이 곱해집니다.$i$$0 \le i \le \min(x,y)$$X_i$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)=\Pr((X,Y)=(x,y)) \\= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \Pr(X_0=i)\Pr(X_1=x-i)\Pr(X_2=y-i).$$

이것은 공식입니다. 우리는 끝났습니다. 그러나 그것이 문제의 공식과 동등한 지 확인하려면 Poisson 분포의 정의를 사용하여 이러한 확률을 매개 변수 및 ( 중 어느 것도 0이 가정)와 대수적으로 재 작업하십시오. 가능한만큼보고 싶은 제품 :$\theta_i$$\theta_1,\theta_2$$\Pr(X_1=x)\Pr(X_2=y)$

$$\eqalign{ F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)&= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \left( e^{-\theta_0} \frac{\theta_0^i}{i!}\right) \left( e^{-\theta_1} \frac{\theta_1^{x-i}}{(x-i)!}\right) \left( e^{-\theta_2} \frac{\theta_2^{y-i}}{(y-i)!}\right) \\ &=e^{-(\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\left(e^{-\theta_0}\sum_{i=0}^{\min(x,y)} \frac{\theta_0^i}{i!}\frac{x!\theta_1^{-i}}{(x-i)!}\frac{y!\theta_2^{-i}}{(y-i)!}\right). }$$

이항 계수 및 사용하여 합계로 항을 다시 표현할 수 있습니다 , 산출량$\binom{x}{i}=x!/((x-i)!i!)$$\binom{y}{i}$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y) = e^{-(\theta_0+\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\sum_{i=0}^{\min(x,y)}i!\binom{x}{i}\binom{y}{i}\left(\frac{\theta_0}{\theta_1\theta_2}\right)^i,$$

정확히 질문에서와 같습니다.

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다변량 시나리오에 대한 일반화는 필요한 유연성에 따라 여러 가지 방법으로 진행될 수 있습니다. 가장 간단한 것은

$$(X_1+X_0, X_2+X_0, \ldots, X_d+X_0)$$

독립 포아송 분포 변수 입니다. 유연성을 높이기 위해 추가 변수를 도입 할 수 있습니다. 예를 들어 독립 Poisson 변수 를 사용하고 , 의 다변량 분포를 고려하십시오$X_0, X_1, \ldots,X_d$$\eta_i$$Y_1, \ldots, Y_d$$X_i + (Y_i + Y_{i+1} + \cdots + Y_d)$$i=1, 2, \ldots, d.$

이변 량 포아송 분포를 도출하는 방법이 있습니다.

하자 매개 변수를 사용하여 독립적 인 포아송 확률 변수가 될 . 그런 다음 합니다. 및 공통 인 변수 은 쌍 을 상관시킵니다. 그런 다음 확률 질량 함수를 계산해야합니다.$X_0, X_1, X_2$$\theta_0, \theta_1, \theta_2$$Y_1=X_0+X_1, Y_2 = X_0+X_2$$X_0$$Y_1$$Y_2$$(Y_1, Y_2)$

$$\begin{align} P(Y_1=y_1, Y_2=y_2) &= P(X_0+X_1=y_1, X_0+X_2=y_2) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} P(X_0=x_0) P(X_1=y_1-x_0) P(X_2=y_2-y_0) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} e^{-\theta_0} \frac{{\theta_0}^{x_0}}{x_0!} e^{-\theta_1} \frac{{\theta_1}^{y_1-x_0}}{(y_1-x_0)!} e^{-\theta_2} \frac{{\theta_2}^{y_2-x_0}}{(y_2-x_0)!} \\ &= e^{-\theta_0-\theta_1-\theta_2} {\theta_1}^{y_1} {\theta_2}^{y_2} \sum_{x_0=0}^{\min(y_1,y_2)} \left(\frac{\theta_0}{\theta_1 \theta_2}\right)^{x_0} x_0! \binom{y_1}{x_0} \binom{y_2}{x_0} \end{align}$$
도움이 .