제곱 감마의 기대

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감마 분포가 및 매개 변수화되는 경우 : $\alpha$ $\beta$

E (Γ (α, β)) = \frac{α}{β}

$E(\Gamma(\alpha, \beta)) = \frac{\alpha}{\beta}$

제곱 감마의 기대치를 계산하고 싶습니다.

E (Γ (α, β)^{2}) = ?

$E(\Gamma(\alpha, \beta)^2) = ?$

나는 그것이 생각 합니다 :

E (Γ (α, β)^{2}) = {(\frac{α}{β})}^{2} + \frac{α}{β^{2}}

$E(\Gamma(\alpha, \beta)^2) = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^2 + \frac{\alpha}{\beta^2}$

후자의 표현이 올바른지 아는 사람이 있습니까?

expected-value gamma-distribution

— 여호수아
소스

1

이것은 감마에서 표준 편차를 그리는 곳에서 작업하고있는 시뮬레이션 연구와 관련이 있으며 분산의 평균 (즉, 제곱 감마)을 원했습니다.

— Joshua

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임의의 변수의 제곱에 대한 기대 값은 다음과 같이 분산과 기대 제곱입니다.

$\mathbb{D}^2(X)=\mathbb{E}([X-\mathbb{E}(X)]^2)=\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2 \Rightarrow \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{D}^2(X)+[\mathbb{E}(X)]^2$ .

위와 같이 매개 변수화 된 distribution 의 기대 값은 (당신이 언급 한 것처럼)이고, 분산은 . 따라서 제곱의 기대 값은 다음과 같습니다. $\Gamma$ $\alpha/\beta$ $\alpha/\beta^2$

$(\alpha/\beta)^2+\alpha/\beta^2$ 입니다.

즉 : 당신이 맞아요.

— 타마스 페 렌치
소스

나는 당신의 방정식을 따르는 지 확실하지 않지만 응답을 주셔서 감사합니다. D2 (X)를 통해 그것을 따르는 경우 D2 (X) + E (X) ^ 2와 같습니다.

— Joshua

3

그 선은 하나의 방정식 이 아닙니다 ! 가운데에있는 화살표를 주목하십시오. 첫 번째 부분 (화살표의 왼쪽)은 두 번째 방정식 (화살표의 오른쪽) 을 의미 하는 하나의 방정식입니다 . ( 를 양쪽에 추가하면됩니다.)

[E (X)]^{2}

$[\mathbb{E}(X)]^2$

— Tamas Ferenci

7

완전성을 위해 밀도에서 원시 모멘트를 직접 계산합니다. 먼저, 모양 / 속도 매개 변수화에서 감마 분포는 밀도 매개 변수의 선택에 대한 것을 당연하게 우리가 걸릴 것 , 우리가 이 결과는 ID에서 쉽게 도출 할 수 있습니다 그런 다음 양의 정수 대해 다음을 따릅니다 .

f_{X} (x) = \frac{β^{α} x^{α - 1} e^{- β x}}{Γ (α)}, x > 0.

$f_X(x) = \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}, \quad x > 0.$

α, β > 0

$\alpha, \beta > 0$

\int_{x = 0}^{\infty} f_{X} (x) d x = 1,

$\int_{x=0}^\infty f_X(x) \, dx = 1,$

\int_{z = 0}^{\infty} x^{z - 1} e^{- z} d z = Γ (z) .

$\int_{z=0}^\infty x^{z-1} e^{-z} \, dz = \Gamma(z).$

k

$k$

\begin{aligned} E [X^{k}] & = \int_{x = 0}^{\infty} x^{k} f_{X} (x) d x \\ = \frac{1}{Γ (α)} \int_{x = 0}^{\infty} β^{α} x^{α + k - 1} e^{- β x} d x \\ = \frac{Γ (α + k)}{β^{k} Γ (α)} \int_{x = 0}^{\infty} \frac{β^{α + k} x^{α + k - 1} e^{- β x}}{Γ (α + k)} d x \\ = \frac{Γ (α + k)}{β^{k} Γ (α)}, \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{E}[X^k] &= \int_{x=0}^\infty x^k f_X(x) \, dx \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{x=0}^\infty \beta^\alpha x^{\alpha+k-1} e^{-\beta x} \, dx \\ &= \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)} \int_{x=0}^\infty \frac{\beta^{\alpha+k} x^{\alpha+k-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha+k)} \, dx \\ &= \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)}, \end{align*}$ 여기서 두 번째 단계에서 적분은 같습니다. 이는 및 매개 변수를 가진 감마 밀도의 적분이기 때문입니다 . 들면 , 우리는 즉시 획득

1

$1$

α + k

$\alpha+k$

β

$\beta$

k = 2

$k = 2$

E [X^{2}] = \frac{Γ (α + 2)}{β^{2} Γ (α)} = \frac{(α + 1) α}{β^{2}} .

$\mathrm{E}[X^2] = \frac{\Gamma(\alpha+2)}{\beta^2 \Gamma(\alpha)} = \frac{(\alpha+1)\alpha}{\beta^2}.$ 또 다른 방법은 순간 생성 함수를 사용하는 것입니다 : 적분을 수렴하기 위해 의 조건 이 필요한 경우우리는 이것을 같이 다시 쓸 수있다 그리고 그 다음

\begin{aligned} M_{X} (t) = E [e^{t X}] & = \int_{x = 0}^{\infty} \frac{β^{α} x^{α - 1} e^{- β x + t x}}{Γ (α)} d x \\ = \frac{β^{α}}{(β - t)^{α}} \int_{x = 0}^{\infty} \frac{(β - t)^{α} x^{α - 1} e^{- (β - t) x}}{Γ (α)} d x \\ = (\frac{β}{β - t})^{α}, t < β, \end{aligned}

$\begin{align*} M_X(t) = \mathrm{E}[e^{tX}] &= \int_{x=0}^\infty \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x + tx}}{\Gamma(\alpha)} \, dx \\ &= \frac{\beta^\alpha}{(\beta-t)^\alpha} \int_{x=0}^\infty \frac{(\beta-t)^\alpha x^{\alpha-1} e^{-(\beta-t)x}}{\Gamma(\alpha)} \, dx \\ &= \biggl(\frac{\beta}{\beta-t}\biggr)^{\!\alpha}, \quad t < \beta, \end{align*}$

t

$t$

M_{X} (t) = (1 - t / β)^{- α},

$M_X(t) = (1 - t/\beta)^{-\alpha},$

E [X^{k}] = {[\frac{d^{k} M_{X} (t)}{d t^{k}}]}_{t = 0} = {[(1 - t / β)^{- α - k}]}_{t = 0} \prod_{j = 0}^{k - 1} \frac{α + j}{β} = \frac{Γ (α + k)}{β^{k} Γ (α)} .

$\mathrm{E}[X^k] = \left[ \frac{d^k M_X(t)}{dt^k} \right]_{t=0} = \left[(1-t/\beta)^{-\alpha-k}\right]_{t=0} \prod_{j=0}^{k-1} \frac{\alpha+j}{\beta} = \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)}.$

— heropup
소스

매우 명확하고 도움이되는 유도.

— 여호수아