모든 반 양성 유한 행렬이 공분산 행렬에 해당합니까?

공분산 행렬이 반 양성이어야한다는 것이 잘 알려져 있지만, 그 반대가 사실입니까?

즉, 모든 반 양성 유한 행렬이 공분산 행렬에 해당합니까?

covariance matrix

— 징징
소스

PD와 PSD의 정의에 따라 여기 에서 그렇습니다. 우리는 이것을 구성으로 할 수 있기 때문에 그렇게 생각합니다. 실제 요소가있는 행렬의 경우 약간 더 간단한 인수를 가정하지만 적절한 변경 사항이 있으면 복잡한 행렬로 확장됩니다.

실제 PSD 매트릭스로 하자 . 내가 연결 한 정의에서 대칭이됩니다. 실제 대칭 양수 한정 행렬 는 로 쓸 수 있습니다 . 이를 수행 할 수 경우 직교와 대각선 및 성분 현명한 제곱근 매트릭스 . 따라서 전체 순위 일 필요는 없습니다. $A$ $A$ $A = LL^T$ $L=Q\sqrt{D}Q^T$ $A=QDQ^T$ $Q$ $D$ $\sqrt{D}$ $D$

하자 해당 차원의 일부 벡터 확률 변수 수와 공분산 행렬 (쉽게 만들 수입니다). $Z$ $I$

그런 다음 에는 공분산 행렬 있습니다. $LZ$ $A$

[적어도 이론상입니다. 실제로 좋은 결과를 원한다면 다루어야 할 다양한 수치 문제가 있으며, 부동 소수점 계산의 일반적인 문제로 인해 필요한 것만 얻을 수 있습니다. 즉, 계산 된 의 모집단 분산은 일반적으로 정확히 가 아닙니다 . 그러나 이런 종류의 것은 우리가 실제로 물건을 계산할 때 항상 문제입니다.] $LZ$ $A$

— Glen_b-복귀 모니카
소스

풀 랭크없이 분해 이 가능하다는 것은 사실이지만 Cholesky 알고리즘은 정규 에서만 작동합니다 . 따라서 전체 순위가 없으면 Cholesky 분해가 될 수 없습니다. 계산적으로, 대각 화에 의해 단일 경우에서이 분해를 수행 할 수있다. (이것은 훨씬 비싸지 만)

A = L L^{'}

$A=LL'$

A

$A$

— Horst Grünbusch

@Horst : 가 더 낮은 삼각형 인 이유는 무엇 입니까?

L = Q \sqrt{D} Q^{T}

$L=Q\sqrt{D}Q^T$

— amoeba

@amoeba 그것을 구성 할 수는 있지만, 논증이 작동하기 위해 삼각형을 낮출 필요는 없습니다. Cholesky의 기능이지만 결과가 작동하는 데 필요하지는 않습니다.

— Glen_b-복지국 모니카

@Glen PSD가되기 위해서는 대칭이되는 조건입니까? 아니면 그 정의가 많은 것 중 하나입니까?

— 114

대칭과 PSD의 관계에 대한 @ 114는 math.stackexchange.com/questions/516533/…을

— Frank