신뢰 구간 해석에 대한 설명이 있습니까?

"신뢰 수준 갖는 신뢰 구간"개념에 대한 나의 현재 이해는 신뢰 구간을 여러 번 계산하려고하면 (매번 새로운 표본으로 각 시간마다) 올바른 매개 변수 를 포함한다는 것 입니다. 시각.$1 - \alpha$$1 - \alpha$

이것이 "진정한 매개 변수가이 간격에있을 확률"과 같지 않다는 것을 알고 있지만, 명확히하고 싶은 것이 있습니다.

[주요 업데이트]

95 % 신뢰 구간을 계산하기 전에 계산 한 구간이 실제 모수를 포함 할 확률은 95 %입니다. 신뢰 구간을 계산하고 특정 구간 얻은 후에는 더 이상 말할 수 없습니다. 우리는 진정한 매개 변수가 에있을 것이라고 95 % 확신한다고 비-종속적 인 주장을 할 수조차 없습니다 . 우리가 할 수 있다면, 이것은 다음과 같은 반례들과 모순 될 것입니다 : 정확히, 신뢰 구간은 무엇입니까?$[a,b]$$[a,b]$

나는 이것을 확률 철학에 대한 토론으로 만들고 싶지 않다. 대신, 특정 구간을 보는 방법과 이유에 대한 정확하고 수학적 설명을 찾고 가 해당 구간을보기 전에 보유한 95 % 확률을 변경 (또는 변경하지 않음)합니다. "간격을 본 후 확률의 개념이 더 이상 의미가 없다"고 주장한다면 괜찮습니다 . 그것이 의미 가 있는 확률에 대한 해석을 해봅시다 .$[a,b]$

더 정확하게:

95 % 신뢰 구간을 계산하도록 컴퓨터를 프로그래밍한다고 가정 해 봅시다. 컴퓨터는 약간의 숫자 처리를 수행하고 간격을 계산하며 암호를 입력 할 때까지 간격 표시를 거부합니다. 암호를 입력하고 간격을 확인하기 전에 (그러나 컴퓨터가 이미 암호를 계산 한 후) 간격에 실제 매개 변수가 포함될 확률은 얼마입니까? 95 %이고이 부분은 논쟁의 여지가 없습니다 . 이것은 제가이 특정한 질문에 관심을 가질 확률에 대한 해석입니다 (제게 억제하고있는 주요 철학적 문제가 있으며 이것이 의도적 인 것입니다).

그러나 암호를 입력하고 컴퓨터에 계산 된 간격이 표시되도록하면 간격 (간격에 실제 매개 변수가 포함되어 있음)이 변경 될 수 있습니다. 이 확률이 절대 변하지 않는다는 주장은 위의 반례와 모순됩니다. 이 반례에서 확률은 50 %에서 100 %로 변경 될 수 있지만 ...

• 확률이 100 % 또는 0 %가 아닌 다른 것으로 변경되는 예가 있습니까 (편집 : 그렇다면 그렇다면 무엇입니까)?

• 특정 구간 본 후에 확률이 변하지 않는 예가 있습니까 (즉, 실제 모수가 에있을 확률 은 여전히 ​​95 %입니다)?$[a,b]$$[a,b]$

• 컴퓨터를 본 후에 일반적으로 확률 변화가 뱉어 않는 방법 (왜) ?$[a,b]$

[편집하다]

모든 훌륭한 답변과 유용한 토론에 감사드립니다!

나는 근본적인 문제는 빈번한 통계가 장기 빈도를 가질 수있는 것에 대해서만 확률을 할당 할 수 있다고 생각한다. 매개 변수의 실제 값이 특정 간격에 있는지 여부에 관계없이 장기 실행 빈도가 없는지 여부에 따라 실험을 한 번만 수행 할 수 있으므로 잦은 확률을 지정할 수 없습니다. 문제는 확률의 정의에서 발생합니다. 확률의 정의를 베이지안으로 변경하면 더 이상 장기 주파수에 대한 논의와 관련이 없으므로 문제가 즉시 사라집니다.

관련 질문에 대한 내 (뺨에 혀가 아닌) 대답을 here 참조하십시오 .

" Frequentist는 아기가 사건이 발생하는 장기 주파수를 대표한다고 믿는 사람입니다. 필요한 경우, 특정 상황을 무작위 표본으로 간주하여 장기 주파수에 대해 의미있게 이야기 할 수있는 가상의 모집단을 발명 할 것입니다. 당신은 그에게 특정한 상황에 대한 질문을하는데, 그는 직접적인 대답을하지 않고 대신에 (가상 상상의) 인구에 대해 진술 할 것입니다. "

신뢰 구간의 경우 일반적으로 우리가 묻고 싶은 질문은 (예를 들어 품질 관리에 문제가없는 한) "이 샘플 데이터가 주어 졌을 때 매개 변수의 실제 값을 포함하는 가장 작은 구간을 확률로 반환합니다. 엑스". 그러나 실험은 한 번만 수행되므로 확률을 할당하는 데 사용할 수있는 장기 실행 빈도가 없으므로 잦은 주의자는이 작업을 수행 할 수 없습니다. 대신에 빈번 주의자는 당신이 수행 한 실험이 무작위 표본으로 간주 될 수있는 실험 집단 (당신이 수행하지 않은)을 발명해야합니다. 그런 다음 잦은 주의자는 특정 실험에 대해 실제로 묻고 자하는 질문에 대한 직접적인 대답보다는 가상의 실험 집단에 대한 간접적 인 대답을 제공합니다.

본질적으로 언어의 문제이며, 인구의 잦은 정의는 단순히 특정 간격에있는 매개 변수의 실제 값의 확률에 대한 논의를 허용하지 않습니다. 잦은 통계가 나쁘거나 유용하지 않다는 것을 의미하지는 않지만 한계를 아는 것이 중요합니다.

주요 업데이트에 대하여

"95 % 신뢰 구간을 계산하기 전에 계산 한 구간이 실제 모수를 포함 할 확률은 95 %입니다."라고 확신 할 수 없습니다. 빈번한 틀 안에서. 매개 변수의 실제 값이 특정 방법으로 구성된 신뢰 구간에있는 장기 빈도는 매개 변수의 실제 값이 특정 표본에 대한 신뢰 구간에있을 확률이라는 암시 적 추론이 있습니다. 우리가 사용할 데이터의. 이것은 완벽하게 합리적인 추론이지만 매개 변수의 실제 값이 특정 데이터 샘플에 대해 구성하는 신뢰 구간에있을 확률이 높기 때문에 빈번하지 않은 베이지안 추론입니다. 하나의 데이터 샘플 만 있습니다.

그러나 우리는 "진정한 매개 변수가 [a, b]에있을 확률이 95 %라고 확신하는 일종의 비-연속적 주장"을 할 수 있습니다. 그것은 정확히 베이지안 신뢰할 수있는 간격이며 많은 문제들에 대해 베이지안 신뢰할 수있는 간격 잦은 신뢰 구간과 정확히 일치합니다.

"나는 이것을 확률의 철학에 대한 토론으로 만들고 싶지 않다", 슬프게도 이것은 불가피하다. 통계의 진정한 가치가 신뢰 구간에 있는지에 대한 빈번한 확률을 할당 할 수없는 이유는 직접적인 결과이다 잦은 확률 철학의 빈번한 이론가들은 빈번한 이론가들이 자신의 철학에서 확률을 정의하는 방식과 같이 장기 빈도를 가질 수있는 것들에만 확률을 할당 할 수 있습니다. 그것은 빈번한 철학을 잘못하지는 않지만 확률의 정의에 의해 부과되는 한계를 이해하는 것이 중요합니다.

"암호를 입력하고 간격 (컴퓨터가 이미 계산 한 후)을 확인하기 전에 간격에 실제 매개 변수가 포함될 확률은 얼마입니까? 95 %이며이 부분은 논쟁의 여지가 없습니다." 부정확하거나 적어도 그러한 진술을 할 때, 귀하는 빈번한 통계의 틀에서 벗어 났으며 장기적인 빈도보다는 진술의 진실성에 대한 어느 정도의 타당성을 포함하는 베이지안 추론을 만들었습니다. 그러나 앞에서 말했듯이 완벽하게 합리적이고 자연스러운 추론입니다.

niether 이벤트에 빈번한 확률을 지정할 수 있으므로 비밀번호를 입력하기 전후에 아무것도 변경되지 않았습니다. 빈번한 통계는 특정 사건에 관한 진술의 타당성에 대한 질문을 자주하기 때문에 반 직관적 일 수 있습니다.

주요 업데이트, 새로운 주요 답변. 문제가있는 위치이기 때문에이 점을 명확하게 해결하려고합니다.

"간격을 본 후에는 확률의 개념이 더 이상 의미가 없다"고 주장한다면, 그것이 의미가있는 확률에 대한 해석을 해보자. "

확률 규칙은 변경되지 않지만 유니버스 모델은 변경됩니다. 확률 분포를 사용하여 모수에 대한 이전의 신념을 수량화 할 의사가 있습니까? 데이터를 본 후 확률 분포를 업데이트하는 것이 합리적입니까? 그렇게 생각하면 와 같은 문장을 만들 수 있습니다 . 내 사전 분포 는 일반적으로 이해되는 무작위성 뿐만 아니라 자연의 진정한 상태에 대한 나의 불확실성을 나타낼 수 있습니다. 즉, 항아리에있는 빨간 공의 수에 사전 분포를 할당하는 경우 빨간 공의 무작위입니다. 고정되어 있지만 확실하지 않습니다.$P(\theta\in [L(X), U(X)]| X=x)$

내가이 말을했지만, 당신이 전화를 할 의향이없는 경우를 포함하여 몇몇 사람들 확률 변수 다음 문 아니다 의미있는. 내가 빈번한 사람이라면 를 고정 된 수량으로 취급 하고 확률 분포를 밝힐 수는 없습니다. 왜? 그것이 고정되어 있고, 확률에 대한 나의 해석은 장기 주파수와 관련이 있습니다. 항아리 안에있는 빨간 공의 개수는 변하지 않습니다. 는 입니다. 공을 몇 개 뽑으면 임의의 샘플이 있습니다. 무작위 샘플을 여러 개 가져 오면 어떤 일이 일어날 지 물어볼 수 있습니다. 즉, 대해 이야기 할 수 있습니다.P ( θ ∈ [ L ( X ) , U ( X ) ] | X = x ) θ θ θ P ( θ ∈ [ L ( X ) , U ( X ) ] $\theta$$P(\theta\in [L(X), U(X)]| X=x)$$\theta$$\theta$$\theta$$P(\theta\in [L(X), U(X)])$ 간격은 샘플에 따라 다르므로 (기다리십시오!) 무작위입니다.

그러나 당신은 그것을 원하지 않습니다. 원합니다. 관찰 된 (이제 고정 된) 샘플로 구성한이 간격이 매개 변수를 포함 할 확률은 얼마입니까? 그러나 일단 당신이 에 조건을 설정하고 나면 빈번한 사람은 아무것도 남지 않으며 문장 는 어떤 의미에서도 의미가 없습니다.X = x P ( θ ∈ [ L ( X ) , U ( X ) ] | X = x $P(\theta\in [L(X), U(X)]| X=x)$$X=x$$P(\theta\in [L(X), U(X)]| X=x)$

에 대해 진술하는 유일한 원칙적 방법 (IMO) 은 (사전) 확률 분포를 갖는 모수에 대한 불확실성을 정량화하는 것입니다. Bayes Theorem을 통해 새로운 정보로 배포판을 업데이트하십시오. 내가 본 다른 모든 접근법은 Bayes에 대한 부족한 근사치입니다. 당신은 확실히 빈번한 관점에서 그것을 할 수 없습니다.$P(\theta\in [L(X), U(X)]| X=x)$

즉, 베이지안 관점에서 전통적인 잦은 절차를 평가할 수 없거나 (예를 들어 신뢰 구간은 균일 한 사전에 따라 신뢰할 수있는 구간 일뿐 아니라) 잦은 관점에서 베이지안 추정자 / 신뢰할 수있는 구간을 평가하는 것이 가치가 없다고 말하는 것은 아닙니다 (그렇다고 생각합니다). 고전적 / 자주적 통계는 쓸모 없다고 말할 수 없습니다. 그것이 무엇이며, 우리는 그것을 더 만들려고 노력해서는 안됩니다.

우주에 대한 믿음을 나타 내기 위해 매개 변수에 사전 분포를 제공하는 것이 합리적이라고 생각하십니까? 그것은 당신이하는 당신의 의견에서 나온 것처럼 들립니다; 내 경험에 따르면 대부분의 사람들은 동의 할 것입니다 (@ G. Jay Kerns의 답변에 대한 나의 의견에서 약간의 반 농담입니다). 그렇다면 Bayesian 패러다임은 대한 진술을 논리적이고 일관된 방법으로 제공합니다 . 잦은 접근 방식은 그렇지 않습니다.$P(\theta\in [L(X), U(X)]| X=x)$

자, 이제 말하고 있습니다! 이 주요 업데이트 질문에 맞지 않기 때문에 이전 답변을 삭제하기로 투표했습니다.

이 새롭고 업데이트 된 질문에서 정통 잦은 해석 아래 95 % 신뢰 구간을 계산하는 컴퓨터를 통해 다음과 같은 질문에 대한 답변을 얻을 수 있습니다.

1. 아니.
2. 아니.
3. 간격이 관찰되면 더 이상 무작위가 아니며 변경되지 않습니다. (간격이 이었을 수도 있습니다.) 그러나 θ 는 변하지 않으며 결코 변하지 않았습니다. ( θ = 7 일 수 있습니다.) 컴퓨터가 7을 계산하는 구간의 95 %가 7을 계산하기 때문에 확률이 95 %에서 0 %로 변경되지만 [ 1 , 3 ] 구간의 100 %는 7을 포함하지 않습니다.$[1,3]$$\theta$$\theta = 7$$[1,3]$

(실제로, 실험자는 실험자가 이라는 것을 결코 알지 못합니다. 즉, 실험자는 [ 1 , 3 ]이 θ를 덮을 확률 이 0인지 1 인지 알 수 없음을 의미합니다 . (S) 그는 단지 말할 수 있습니다. 즉, 실험자는 컴퓨터 간격의 95 %가 θ를 포함 한다고 말할 수 있지만 이미 알고 있습니다.$\theta = 7$$[1,3]$$\theta$$\theta$

질문의 정신은 관찰자의 지식 과 그것이 가 어디에 있는지에 대한 힌트를 계속 암시 합니다. 당신은 아직 그것을 보지 않고 간격 계산 컴퓨터에 대한 암호에 대해 얘기했다 이유는 (아마도)이다 등 . 나는 당신의 의견에서 답이 불만족 스럽거나 부적절하게 0 또는 1에 커밋 할 의무가있는 것처럼 보 였는데, 왜 우리는 그것이 87 %, 15 / 16 또는 99 % 라고 믿을 수 없었습니까 ?? ? 그러나 그것은 빈번한 틀의 힘과 동시에 아킬레스의 발 뒤꿈치입니다. 관찰자의 주관적인 지식 / 믿음은 무의미합니다. 중요한 것은 장기 상대 주파수입니다. 더 이상 아무것도 없습니다.$\theta$$15/16$

최종 BTW : 확률에 대한 해석을 변경하면 (이 질문에 대해 무심코 선택하지 않은 경우) 새로운 답변은 다음과 같습니다.

1. 예.
2. 예.
3. 확률 = 주관적 지식 또는 신념 수준 및 관찰자의 지식이 변경 되었기 때문에 확률이 변경됩니다. 우리는 사전 / 사후 분포에 대한 지식을 나타내고, 새로운 정보가 이용 가능 해지면 전자는 후자 (베이 즈 규칙을 통해)로 변형됩니다.

(그러나 전체 공개의 경우 설명하는 설정이 주관적인 해석과 잘 맞지 않습니다. 예를 들어, 컴퓨터를 켜기 전에도 사전에 95 %의 신뢰할 수있는 간격이 있으며 컴퓨터를 켜고 사용하기 위해 컴퓨터를 사용합니다. 우리는 95 % 후방 신뢰할 수있는 간격으로 보통 이전보다 상당히 더 얇습니다.)

나는 내 두 센트를 던질 것이다. 빈도주의에, 신뢰 구간 자체는 2 차원 확률 변수는 본질에 있습니다 경우 당신이 실험에게 gazillion 시간을 다시 것, 신뢰 구간은 당신 것입니다 추정 (예 : 새로 발견 된 데이터에서 각 시간을 계산)마다 다를 것입니다 . 따라서 구간의 두 경계는 랜덤 변수입니다.

따라서 95 % CI는이 임의 변수 세트가 95 %의 경우에 실제 값 (매우 빈번한 표현)을 포함한다는 보장 (이 CI로 이어지는 모든 가정이 정확함)을 의미합니다.

표준 정규 분포에서 평균 100 개의 드로우에 대한 신뢰 구간을 쉽게 계산할 수 있습니다. 그런 다음 해당 표준 정규 분포에서 10000 곱하기 100 값을 그리고 매번 평균의 신뢰 구간을 계산할 때 실제로 0에 약 9500 번 있음을 알 수 있습니다.

당신은 사실 한 (실제 데이터에서) 한 번만 신뢰 구간을 생성 참에있는 진정한 가치의 확률을 줄일 않습니다 이 0 또는 1 중 하나에 간격을하지만, 그것은으로 신뢰 구간의 확률을 변경하지 않습니다 실제 값을 포함하는 임의 변수.

그래서, 결론 : 가능성 있는 진정한 가치 (95 %)은 변경되지 않습니다를 포함하는 95 % 신뢰 구간 (즉, 평균), 어느 쪽도 아니는 진정한 가치를 포함하기위한 특정 구간 (CI 또는 무엇이든)의 확률을한다 (0 또는 1). 컴퓨터가 알고있는 구간의 확률이지만 실제로는 0 또는 1이 아닙니다 (특정 구간이기 때문에). 알지 못하기 때문에 (빈번한 방식 으로이 동일한 구간을 다시 계산할 수 없습니다) 같은 데이터에서 다시 여러 번), 당신이해야 할 모든 간격의 확률입니다.

신뢰 구간이 "참 매개 변수가 구간에있을 확률"을 지정하지 않는 이유는 구간이 지정되면 매개 변수가 해당 구간에 있거나 그렇지 않기 때문입니다. 그러나 예를 들어 95 % 신뢰 구간의 경우 값이 포함 된 95 % 신뢰 구간을 만들 가능성이 있습니다. 이것은 이해하기 어려운 개념이므로 잘 표현하지 못할 수 있습니다. 자세한 설명 은 http://frank.itlab.us/datamodel/node39.html 을 참조 하십시오 .

잦은 주의자가 특정 표본에 대한 신뢰 구간에있는 통계의 실제 (인구) 값이있을 가능성이 있다고 생각하지 않습니다. 그것은 아니거나 그렇지 않지만 특정 사건에 대한 장기 실행 빈도는 없으며 통계 절차의 반복적 인 수행으로 얻을 수있는 사건의 집단 만 있습니다. "우리는 신뢰 구간의 95 %가 통계치의 실제 값을 포함 할 것"과 같은 진술을 고수해야하지만, "진정한 값이이 특정 계산에 대해 계산 된 신뢰 구간에있을 확률은 없다" 견본". 이것은 p의 모든 값에 해당되며 확률이 실제로 무엇인지에 대한 잦은 정의로는 불가능합니다. 베이지안은 믿을만한 간격을 사용하여 그러한 진술을 할 수 있습니다.

$E$$[a,b]$

$\tilde E$$(L(X), U(X))$

편집 : @G. Jay Kerns는 나보다 더 나은 논증을하고 더 빨리 타이핑하므로 아마도 따라갈 것입니다. :)

$E$$[a, b]$$E$$C$$C'$$P(E|C) = P(E)$$P(E|C') = P(E)$

$P(E|C) = 1$$P(E|C') = 0$

여기에 너무 많은 설명이있어서 읽을 시간이 없습니다. 그러나 기본 질문에 대한 대답은 짧고 달콤 할 수 있다고 생각합니다. 데이터에 무조건적인 확률의 차이입니다. 데이터를 수집하기 전에 1- 알파의 확률은 잘 정의 된 절차에 매개 변수가 포함될 확률입니다. 데이터를 수집하고 간격을 생성 한 특정 간격을 알고 나면 매개 변수가 상수이므로이 조건부 확률은 0 또는 1입니다. 그러나 매개 변수의 실제 값도 알지 못하므로 데이터를 수집 한 후에는 어떤 값인지 알 수 없습니다.

Michael Chernick의 게시물 확장은 양식 주석을 복사했습니다.

완벽한 추정이라고 할 수있는 병리학 적 예외가 있습니다. X (n) = pX (n-1) + en에 의해 주어진 1 차 자기 회귀 과정이 있다고 가정하자. p가 1 또는 -1이 아니며 절대 값이 1보다 작다는 것을 알 수 있습니다. 이제 en은 혼합 분포와 동일하게 독립적으로 분포되어 있으며 en = 0이라는 양의 확률 q가 있습니다.

완벽한 추정이라고 할 수있는 병리학 적 예외가 있습니다. X (n) = pX (n-1) + en에 의해 주어진 1 차 자기 회귀 과정이 있다고 가정하자. p가 1 또는 -1이 아니며 절대 값이 1보다 작다는 것을 알 수 있습니다.

이제 en은 혼합 분포로 독립적으로 동일하게 분포되어 있으며 en = 0 인 양의 확률 q가 있고 확률 1-q의 경우 절대적으로 연속적인 분포를 갖습니다 (예 : 밀도가 0에서 떨어진 간격으로 0이 아님). 시계열에서 데이터를 순차적으로 수집하고 각 연속 값 쌍에 대해 p (X (i) / X (i-1))로 추정합니다 .ei = 0 일 때 비율은 p와 정확히 같습니다.

q가 0보다 크므로 결국 비율은 값을 반복하고 해당 값은 매개 변수 p의 정확한 값이어야합니다. 0이 아닌 ei 값이 아닌 경우 확률 0 및 ei / x (i -1) 반복하지 않습니다.

따라서 순차적 중지 규칙은 비율이 정확하게 반복 될 때까지 샘플링 한 다음 반복 된 값을 p의 추정치로 사용합니다. 이 추정값을 중심으로 구성하는 간격은 정확히 p이므로 true 모수를 포함 할 확률 1입니다. 이것은 실용적이지 않은 병리 적 예이지만 오류 분포에 필요한 속성을 가진 고정 확률 적 프로세스가 존재합니다.

여전히 도움이 될 수있는 많은 질문과 답변에 대한 두 가지 관찰.

혼란의 일부는 1940 년대 경까지 확고한 수학적 기반에 있지 않은 좀 더 깊은 확률 이론에 대한 글로스에서 나온 것이다. 그것은 샘플 공간, 확률 공간 등을 구성하는 것에 들어갑니다.

먼저, 동전 뒤집기 후에는 머리가 올라 오면 꼬리가 나오지 않을 확률이 0 %라는 것을 알았습니다. 이 시점에서 확률에 대해 이야기하는 것은 이치에 맞지 않습니다. 무슨 일이 있었는지, 우리는 알고 있습니다. 확률은 미래에 알려지지 않았으며 현재에 알려지지 않았습니다.

제로 확률이 실제로 무엇을 의미하는지에 대한 작은 결론으로, 이것을 고려하십시오 : 우리는 공정한 수의 확률로 머리가 올 확률이 0.5이고 꼬리가 올 확률이 있다고 가정합니다. 이는 결과가 MECE (상호 배타적이고 완전히 철저한)이므로 100 % 확률로 머리 나 꼬리 가 나올 수 있음을 의미합니다 . 그러나 머리와 꼬리를 구성하는 데는 0 %의 변화가 있습니다 . '머리'와 '꼬리'에 대한 우리의 개념은 상호 배타적이라는 것입니다. 따라서, 우리가 '코인 던지기'를 생각하거나 정의하는 방식으로 는 불가능 하기 때문에 이것은 확률이 0 % 입니다. 그리고 던지기 전후에는 불가능합니다.

정의에되지 않습니다에 추가 추론, 아무것도, 불가능은 이다 가능. 실제로는 변호사가 "이 문서에 서명하여 잊어 버릴 수 없습니까?"라고 묻는 것이 싫습니다. 질문의 본질 상 대답은 항상 '예'이기 때문입니다. 그 문제에 대한 답은 "물론 화를 통해 행성 Remulak 4로 이송되어 무언가를 수행 한 다음 기억하지 않고 다시 수송 할 수 없는가?"라는 질문에 대한 '예'입니다. 가능성은 매우 낮을 수 있지만 불가능하지 않은 것은 가능합니다. 우리의 규칙적인 확률 개념에서 우리가 동전 뒤집기에 대해 이야기 할 때 동전이 나올 수 있습니다. 꼬리가 나올 수 있습니다. 그리고 그것은 심지어 선상에 있거나 (어떻게 든, 우리가 약물을 복용하고 궤도에 오르는 동안 우주선에 찔린 것처럼) 공중에 영원히 떠오를 수도 있습니다. 하지만 던지기 전후에 동시에 꼬리 : 실험의 표본 공간에서 상호 배타적 인 결과입니다 ( '확률 표본 공간'및 '시그마 대수'참조).

둘째, 신뢰 구간에 대한이 베이지안 / 자주주의 철학에서, 빈번 주의자로 행동하는 경우 빈도와 관련이있는 것이 사실이다. 따라서 표본 평균과 추정 평균의 신뢰 구간이 95 %라고 말하면 '실제'값이 경계 사이에 있다고 95 % 확신 할 수 없습니다. 우리는이 실험을 반복해서 반복 할 수 있다면, 시간의 95 %가 평균이 실제로 한계 사이에 있다는 것을 알게 될 것입니다. 그러나 우리가 한 번의 실행으로 그것을 할 때, 우리는 정신적 인 지름길을 취하고 '우리가 옳다고 95 % 확신합니다.'라고 말합니다.

마지막으로 실험을 기반으로 한 가설 검정의 표준 설정이 무엇인지 잊지 마십시오. 식물 성장 호르몬이 식물을 더 빨리 자라게하는지 알고 싶다면, 6 개월의 성장 후 토마토의 평균 크기를 먼저 결정해야합니다. 그런 다음 호르몬을 사용하여 반복하고 평균 크기를 얻습니다. 우리의 귀무 가설은 '호르몬이 효과가 없었습니다.'라는 것 입니다 . 그러나 시험 된 식물이 평균적으로 99 %의 신뢰도로 더 큰 경우, 이는 식물에 의해 항상 무작위 변이가 있고 얼마나 정확하게 계량 할 수 있는지를 의미하지만,이를 설명 할 수있는 임의의 양은 1보다 적을 것입니다. "백에 시간."

이 문제는 사전 및 사후 확률의 혼란 또는 특정 랜덤 변수의 공동 분포를 모르는 불만으로 특징 지을 수 있습니다.

조절

$n$$1$$n$$X$$Y$$X$$Y$$P(X=x \land Y=y) = 1/(n(n-1))$$x,y \in N := \{1,\dots,n\}$$x \neq y$$P(X=x)=1/n$$P(Y=x)=1/n$$x \in N$

$t$$P(X=x)=1/n$$x \in N$$x \in N$$X=x$$P(X=x \vert Y=t) = P(X=x \land Y=t) / P(Y=t)$$x \neq t$$1/(n-1)$$x = t$$0$$X=x$$Y=t$$X=x$$X=x$$Y=t$$P(X=x)=P(Y=x)=1/n$$x \in N$

증거를 조건화하지 않으면 증거를 무시하는 것을 의미합니다. 그러나 우리는 확률 모델에서 표현할 수있는 것에 만 의존 할 수 있습니다. 항아리에서 나온 두 개의 공을 사용한 예에서는 날씨 나 오늘의 느낌을 조절할 수 없습니다. 그러한 증거가 실험과 관련된 증거라고 생각할만한 이유가있는 경우,이 증거를 공식적인 사건으로 표현할 수 있도록 먼저 모델을 변경해야합니다.

$C$$C = 1 \Longleftrightarrow X < Y$$P(C=1) = 1/2$$t$$P(C=1 \vert Y=t) = (t-1) / (n-1)$$P(C=1 \vert Y=1) = 0$$C=1$$P(C=1 \vert Y=n) = 1$$C=1$$P(C=1) = 1/2$

신뢰 구간

$X = (X_1, \dots, X_n)$$n$$(l,u)$$\gamma$$X$$l$$u$$\mathbb{R}^n$$\theta \in \mathbb{R}$$P(l(X) \leq \theta \leq u(X)) \geq \gamma$

$C$$(l,u)$$C = 1 \Longleftrightarrow l(X) \leq \theta \leq u(X)$$P(C=1) \geq \gamma$

$x = (x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n$$x_i$$X_i$$i$$C=1$$\delta := P(C=1 \vert X = x)$$0$$1$$(C = 1 \land X = x) \Longleftrightarrow ((l(x) \leq \theta \leq u(x)) \land X = x)$$l(x) \leq \theta \leq u(x)$$\delta=0$$l(x) \leq \theta \leq u(x)$$X=x$$\delta=1$$l(x)$$u(x)$$x$$\delta \in \{0,1\}$

$P(C=1) \geq \gamma$$C=1$$x$$[l(x),u(x)]$$[l(x),u(x)]$$\theta$$\gamma$,이 증거를 인정하고 동시에 무시하는 것을 의미합니다.

더 많이 배우고 덜 알기

$\delta$$X$$Y$$x \in \mathbb{R}$$P(X=x)$$P(Y=x)$$P(X=x \land Y=y)$$x,y \in \mathbb{R}$$(X,Y)$

$Y=7$$X$$P(X=x)$$x$$(x,7)$$x \in \mathbb{R}$$x$$P(X=x)$$Y=7$$Y=7$$7$$P(X=x)$$X=x$$P(X=x \vert Y=7) = P(X=x \land Y=7) / P(Y=7)$

$Y$$X$

과거에 주어진 게임에서 xbar-2sd (x)와 xbar + 2sd (x) 사이의 닉스 점수가 약 .95 일 확률을 말한다면, 이는 농구 점수 분포에 대한 특정 분포 가정을 감안할 때 합리적인 진술입니다. . 몇 가지 게임 샘플이 주어진 점수에 대한 데이터를 수집하고 해당 간격을 계산하면 과거의 특정 날짜에 해당 간격에서 점수가 올 확률은 분명히 0 또는 1이며 게임 결과를 Google에서 찾을 수 있습니다. 잦은 가능성을 제로가 아니거나 하나의 확률로 유지한다는 유일한 개념은 반복 샘플링에서 비롯되며 특정 샘플의 인터벌 추정 실현은 샘플이 발생했거나 샘플의 인터벌 추정을 제공하지 않은 마술 포인트입니다. . 비밀번호를 입력하는 지점이 아닙니다.

이것이 Dikran이 위에서 주장한 바이며, 나는 그의 대답에 투표했습니다. 반복 된 표본이 고려 되지 않는 시점은 위의 예와 같이 비밀번호를 입력 할 때나 내 결과의 Google을 검색 할 때가 아니라 비 이산 확률이 얻을 수없는 잦은 패러다임의 시점 입니다. 닉스 게임이지만 샘플 수 = 1 인 시점.

모델링

$\mathcal{S} = (\Omega,\Sigma,P)$$E \in \Sigma$$P(E)$$E$$\mathcal{S}$$\mathcal{S}$

단계 (1)에 약간의 여유가있을 수 있습니다. 모델링의 적합성은 때때로 특정 사건의 확률을 우리가 직관적으로 기대하는 것과 비교하여 테스트 할 수 있습니다. 특히, 특정 한계 또는 조건부 확률을 보면 모델링이 얼마나 적절한 지 알 수 있습니다.

$X_1, \dots, X_n \sim \mathrm{Dist}(\theta)$${\theta \in \mathbb{R}}$

신뢰 구간 추정기

$\gamma$$L$$R$$\mathbb{R}^n$$P(L(X) \leq \theta \leq R(X)) \geq \gamma$$X = (X_1, \dots, X_n)$$L(X)$$R(X)$$x \in \mathbb{R}^n$$L(x) \leq \theta \leq R(x)$

환경 설정

$\gamma_1$$\gamma_2$$\gamma_1 < \gamma_2$첫 티켓을 뽑을 때보 다 우승 티켓이 될 확률이 높습니다. 관측치를 생성 한 랜덤 프로세스의 확률 적 속성에 기반한 다른 관측치 (이 예에서는 두 개의 티켓)에 대한 선호도는 양호합니다. 우리는 어떤 티켓이든 승자가 될 가능성이 높다고 말하지 않습니다. 우리가 그렇게 말하면 구어체 적 의미에서 "확률"을 갖는 것은 무엇이든 의미 할 수 있으므로 여기서 피하는 것이 가장 좋습니다.

$0.95$

간단한 선행 예제

$\theta$$P(\theta=0) = P(\theta=1) = 1/2$$\vartheta \in \mathbb{R}$$\theta = \vartheta$$X_1, \dots, X_n \sim \mathcal{N}(\vartheta, 1)$$L,R$$\gamma$$\vartheta \in \mathbb{R}$$P(L(X) \leq \vartheta \leq R(X) \vert \theta = \vartheta) \geq \gamma$${P(L(X) \leq \theta \leq R(X)) \geq \gamma}$

$x \in \mathbb{R}^n$$(X_1, \dots, X_n)$$\theta$$L(x)$$R(x)$$P(L(x) \leq \theta \leq R(x) \vert X = x)$$f_\mu$$n$$\mu$$\sigma=1$

$\theta$$x$$x$$\{\mu_0,\mu_1\} = \{0,1\}$

"참 매개 변수가이 신뢰 구간에있을 확률"이라고 말할 수 있다면 표본의 크기를 고려하지 않을 것입니다. 표본의 크기에 관계없이 평균이 같으면 신뢰 구간이 동일하게 넓어집니다. 그러나 우리가 "이 100 번 반복한다면, 95 개의 경우에 실제 매개 변수가 구간 내에있을 것이라고 예상 할 것입니다", 우리는 표본 크기의 크기와 추정치의 정도를 고려합니다 . 표본 크기가 클수록 평균 추정값의 분산이 줄어 듭니다. 따라서 그다지 변하지 않으며 절차를 100 번 반복 할 때 95 중 실제 매개 변수가 간격에 있는지 확인하기 위해 큰 간격이 필요하지 않습니다.