일관되지 않은 최대 우도 추정기의 예

논문에 대한 의견을 읽었으며 저자는 때로는 추정기 (ML 또는 최대 유사 가능성으로 찾은 추정기)가 일관성이 없지만 가능성 비율 또는 유사 가능성 비율 검정의 힘이 여전히 수렴 할 수 있다고 말합니다. 관찰 된 데이터의 수가 무한대 인 경향이 있기 때문에 1 (테스트 일관성). 어떻게 그리고 언제 이런 일이 발생합니까? 참고 문헌에 대해 알고 있습니까?

[이것은 귀하의 질문에서 논의되는 상황의 예일 수 있습니다.]

일관성없는 ML 추정기에는 여러 가지 예가 있습니다. 불일치는 일반적으로 다양한 약간 복잡한 혼합 문제와 검열 문제로 나타납니다.

[검사의 일관성은 기본적으로 (고정 된) 가설에 대한 검정의 검정력이 로 1 증가한다는 것 입니다.]$n\to\infty$

Radford Neal은 2008-08-09 불일치 한 최대 가능성 추정치 :“표준” 의 블로그 항목에 예를 제공 합니다. 매개 변수 추정은 다음 과 같습니다.$\theta$

(닐 사용 어디있는 ) 여기서의 ML 추정 경향이 으로 (실제로 가능성은 매우 겸손 샘플에 대한 진정한 가치에보다 0 근처에 피크에 훨씬 높을 수있다 크기). 그럼에도 불구하고 실제 값 근처에 피크가있는 경우 0보다 가까운 피크 보다 작습니다.θ θ 0 n → ∞ $t$$\theta$$\theta$$0$$n\to\infty$$\theta$

이 상황과 관련된 두 가지 경우를 상상해보십시오.

a) 대안 에 대해 의 우도 비 테스트 수행 ;H 1 : θ < θ $H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta<\theta_0$

b) 대안 에 대해 의 우도 비 테스트를 수행합니다 .H 1 : θ ≠ θ $H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta\neq\theta_0$

(a)의 경우, 실제 (대체가 true이고 이 true 의 다른 )를 상상하십시오 . 그런 사실에도 불구하고 매우 0에 가까운 확률은 그 초과 할 에서 가능성 그럼에도에서 우도 초과 심지어 작은 샘플을 상기 비율은 커질 계속 이러한 방식으로 1 우도 비 테스트 이동의 거부 가능성을 확인하기 위해. 0 θ θ θ θ 0 n → $\theta<\theta_0$$0$$\theta$$\theta$$\theta$$\theta_0$$n\to\infty$

실제로, (b)의 경우에도, 이 고정되어 으로부터 멀어 질 경우, 우도 비 검정에서 기각 확률을 높이는 방식으로 우도 비가 증가하는 경우도 있어야합니다. 접근 1.$\theta_0$$0$

따라서 이것은 일관성없는 ML 추정의 예인 것 같습니다. 그럼에도 불구하고 LRT의 검정력은 1이되어야합니다 ( 때 제외 ).$\theta_0=0$

[whuber의 대답에는 아직 명확하지 않은 것으로 생각되며, 테스트 일관성과 추정기의 일관성의 차이를 이해하기에는 훨씬 간단합니다. 특정 예에서 불일치 추정기가 ML이 아니었다는 사실은 그 차이를 이해하는 한 실제로 중요하지 않습니다. 여기서 시도한 것처럼 ML 인 일관성이없는 추정기를 가져 오는 것은 실제로 변경되지 않습니다. 실질적인 설명. 이 예제의 유일한 실제 요점은 ML 추정기 사용에 대한 귀하의 우려를 해결하는 것입니다.]

$(X_n)$$(\mu, 1)$

의 분포 는 보통 입니다. 수렴하여 일관성이 없음을 나타냅니다. ( μ + 1 , 1 / $T(X_1,\ldots,X_n)=1+\bar{X}$μ+1≠$(\mu+1, 1/\sqrt{n})$$\mu+1\ne \mu$

귀무 가설을 비교할 때$\mu=\mu_0$$\mu=\mu_A$$\bar{X}$$T$$T$$\mu+1=\mu_0+1$$\mu+1=\mu_A+1$$1$$\alpha\gt 0$$T$$1$