공을 연속적으로 선택하고 표시하여 공의 수를 추정

가방에 N 개의 공이 있다고 가정 해 봅시다. 첫 번째 추첨에서 공을 표시하고 가방에 넣습니다. 두 번째 추첨에서 표시된 공을 집어 들면 가방에 넣습니다. 그러나 표시되지 않은 공을 집어 들었다면 표시하고 가방에 다시 넣습니다. 나는 무승부로 이것을 계속합니다. 몇 번의 추첨과 표시 / 표시되지 않은 추첨 기록이 주어 졌을 때 가방에 예상되는 공의 수는 얼마입니까?

여기 아이디어가 있습니다. 을 가능한 값으로 사용할 자연수의 유한 부분 집합 이라고하자 . 대한 사전 배포가 있다고 가정 합니다. 비 랜덤 양의 정수 수정하십시오 . 가방 에서 추첨에 공을 표시하는 횟수를 나타내는 임의의 변수 로 하자 . 목표는 를 찾는 것입니다 . 이것은 와 그 이전의 기능입니다 .$\mathcal{I}$$N$$\mathcal{I}$$M$$k$$M$$E(N|k)$$M,k$

베이 즈 규칙에 의해 우리는

$$\begin{align} P(N=j|k) &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{P(k)}\\ &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{\sum_{r \in \mathcal{I}} P(k|N=r)P(N=r)} \end{align}$$

컴퓨팅 는 쿠폰 수집기 문제의 변형 인 알려진 계산이다. 는 총 쿠폰 이있을 때 개의 draw에서 개의 별개의 쿠폰을 관찰 할 확률입니다 . 에 대한 논쟁 은 여기 를 참조 하십시오$P(k|N=j)$$P(k|N=j)$$k$$M$$j$

$$P(k|N=j) = \frac{\binom{j}{k}k!S(M,k)}{j^M}$$

여기서 는 두 번째 종류 의 스털링 수를 나타냅니다 . 그런 다음 계산할 수 있습니다$S$

$$E(N|k) = \sum_{j \in \mathcal{I}}jP(N=j|k)$$

다음은 다양한 및 대한 계산입니다 . 각각의 경우에 우리는 이전에 유니폼을 사용합니다$k$$M$$[k,10k]$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline M & k & E(N)\\\hline 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69\\ 30 & 15 & 20.00\\ 30 & 20 & 39.53 \\ \hline \end{array}$$