감마와 카이 제곱 분포의 관계

만약 곳 , 즉 모든 동일한 분산과 평균 제로의 IID 정상 랜덤 변수이고, 그런 다음

Y = \sum_{i = 1}^{N} X_{i}^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{N}X_i^2$

X_{i} \sim N (0, σ^{2})

$X_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$

X_{i}

$X_i$

Y \sim Γ (\frac{N}{2}, 2 σ^{2}) .

$Y \sim \Gamma\left(\frac{N}{2},2\sigma^2\right).$

카이 제곱 분포가 감마 분포의 특수한 경우이지만 랜덤 변수 대한 카이 제곱 분포를 도출 할 수 없다는 것을 알고 있습니다. 도와주세요? $Y$

chi-squared gamma-distribution

— 카카
소스

일부 배경

분포는 분포로 정의의 제곱을 합산 결과 그 독립 확률 변수 이므로 : 여기서 는 임의 변수 및 나타냅니다. (: EDIT 동일한 분포가 와 치 모두를 의미한다 제곱 분포 자유도 및 분포 랜덤 변수 ). 이제 분포 의 pdf 는 $\chi^2_n$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

If X_{1}, \dots, X_{n} \sim N (0, 1) and are independent, then Y_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} \sim χ_{n}^{2},

$\text{If }X_1,\ldots,X_n\sim\mathcal{N}(0,1)\text{ and are independent, then }Y_1=\sum_{i=1}^nX_i^2\sim \chi^2_n,$

X \sim Y

$X\sim Y$

X

$X$

Y

$Y$ $\chi_n^2$ $n$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

f_{χ^{2}} (x; n) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{- \frac{x}{2}}, for x \geq 0 (and 0 otherwise).

$f_{\chi^2}(x;n)=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$ 따라서 실제로 분포는 pdf 를 사용한 분포 의 특별한 경우입니다 이제 .

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

Γ (p, a)

$\Gamma(p,a)$

f_{Γ} (x; a, p) = \frac{1}{a^{p} Γ (p)} x^{p - 1} e^{- \frac{x}{a}}, for x \geq 0 (and 0 otherwise).

$f_\Gamma(x;a,p)=\frac{1}{a^p\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-\frac{x}{a}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$

χ_{n}^{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2)

$\chi_n^2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right)$

너의 경우

귀하의 경우의 차이점은 공통 변수 과 함께 정규 변수 가 있다는 것 입니다. 그러나이 경우에도 유사한 분포가 발생합니다. 이므로 는 랜덤 변수에 를 곱한 결과 분포를 따릅니다 . 이는 임의 변수 ( ) 의 변환으로 쉽게 얻을 수 있습니다 . 이것은 $X_i$ $\sigma^2\neq1$

Y_{2} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} = σ^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{X_{i}}{σ})}^{2} \sim σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2=\sum_{i=1}^nX_i^2=\sigma^2\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i}{\sigma}\right)^2\sim\sigma^2\chi_n^2,$

Y

$Y$

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

Y_{2} = σ^{2} Y_{1}

$Y_2=\sigma^2Y_1$

f_{σ^{2} χ^{2}} (x; n) = f_{χ^{2}} (\frac{x}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} .

$f_{\sigma^2\chi^2}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

Y_{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2 σ^{2})

$Y_2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\sigma^2\right)$ 이후 감마의에 의해 흡수 될 수 매개 변수입니다.

σ^{2}

$\sigma^2$

a

$a$

노트

당신의 PDF 도출하려면 (도로 상황에 적용 처음부터 사소한 변경에 따라)를 첫 번째 단계를 따를 수 있습니다 여기에 에 대한 표준 변환을 사용하여 임의의 변수. 그런 다음 다음 단계를 수행하거나 감마 분포의 회선 특성 및 위에서 설명한 과의 관계에 의존하는 증거를 단축 할 수 있습니다 . $\chi^2_n$ $\sigma^2\neq1$ $\chi_1^2$ $\chi^2_n$

— 엡실론
소스

좋은 설명 (+1). 그러나 나는 당신이 라고 말할 때 의심 스럽습니다 아마 그것은 여야합니다 여기서그리고 마지막으로

Y_{2} \sim σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2\sim\sigma^2\chi_n^2,$

Y_{2} = σ^{2} U,

$Y_2=\sigma^2U,$

U \sim χ_{n}^{2} .

$U\sim\chi_n^2.$

f_{σ^{2} U} (x; n) = f_{χ^{2}} (\frac{x}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} .

$f_{\sigma^2 U}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

— kaka

감사합니다 @kaka. 첫 번째로, 실제로 표기법 을 사용하면 변수에 를 곱할 때 발생하는 임의의 변수를 참조 하므로 둘 다 동일하게 말합니다. .. 두 번째로, 은 의 밀도를 나타내는 데 사용 된 표기법입니다 (매개 변수 은 두 번째 인수로 나타남). 하여 표기로, 밀도 로 읽을 , OK도 있지만 회 반복되고 .

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi_n^2$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

σ^{2}

$\sigma^2$

f_{χ^{2}} (x; n)

$f_{\chi^2}(x;n)$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

n

$n$

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi^2_n$

f_{χ_{n}^{2}} (x; n)

$f_{\chi_n^2}(x;n)$

n

$n$

— epsilone

그러나 첫 번째 방정식에서 를 의 분포로 정의했습니다

X_{n}^{2}

$\mathcal{X}_n^2$

\sum_{i = 1}^{N} X_{i}^{2} .

$\sum_{i=1}^N X_i^2.$

— kaka

예, 의 방정식 에서 의 분산은 이므로 는 첫 번째 방정식의 와 같습니다.

Y_{2}

$Y_2$

X_{i}

$X_i$

σ^{2}

$\sigma^2$

\frac{X_{i}}{σ}

$\frac{X_i}{\sigma}$

X_{i}

$X_i$

— epsilone

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$ 는 자유도를 갖는 카이 제곱 분포 함수 및 이러한 분포에 따르는 랜덤 변수를 나타냅니다. 이것은 표기법의 남용 일 수 있지만 그 의미는 분명해야합니다. 그럼에도 불구하고 답변을 편집하여 명확하게 설명합니다.

n

$n$

— epsilone