시계열이 2 차 정지 인 경우, 이는 엄격하게 정지 된 것을 의미합니까?

의 공동 분포가 의 공동 분포와 동일한 경우 프로세스 는 고정 상태 입니다. 모든 , 모든 및 .X t (1) , X t 2 , . . . , X t m X t 1 + K , X t 2 + K , . . . , X t m + k 값 m K t (1) , t (2) , . . . , t $X_t$$X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_m}$$X_{t_1+k},X_{t_2+k},...,X_{t_m+k}$$m$$k$$t_1,t_2,...,t_m$

평균이 일정하고 자기 공분산 함수가 지연에만 의존하는 경우 공정은 2 차 정지 상태입니다.

그러므로 2 차 고정은 엄격한 고정을 의미합니까?

또한 2 차 정지 상태에서는 1 차 및 2 차보다 높은 모멘트에 대한 가정이 없다고합니다. 첫 번째 모멘트는 평균에 해당하고 두 번째 모멘트는 자기 공분산에 해당합니까?

2 차 고정 성은 엄격한 고 정성보다 약합니다. 2 차 고정 성은 1 차 및 2 차 모멘트 (평균, 분산 및 공분산)가 시간에 걸쳐 일정해야하므로 공정이 관찰되는 시간에 의존하지 않습니다. 특히, 말했듯이 공분산은 지연 순서 에만 의존 하지만 측정 시간에 의존 하지는 않습니다. C o v ( x t , x t − k ) = C o v ( x t + h , x t + h − k ) 모두에 대해$k$$Cov(x_t, x_{t-k}) = Cov(x_{t+h}, x_{t+h-k})$ .$t$

엄격한 정지성 프로세스에서 모든 주문의 순간은 시간이 지남에 따라 일정하게 유지됩니다. 즉, 의 공동 분포입니다 . . . , X t m은 공동 분포와 동일한 X의 t 1 + K + X t 2 + k 값 + . . . + X t m + K 모든 t (1) , t (2) , . . $X_{t1},X_{t2},...,X_{tm}$$X_{t1+k}+X_{t2+k}+...+X_{tm+k}$ 및 k .$t1,t2,...,tm$$k$

따라서 엄격한 문구에는 2 차 문구가 포함되지만 대화는 사실이 아닙니다.

편집 (@whuber의 의견에 대한 답변으로 편집)

이전의 진술은 약하고 강한 문구에 대한 일반적인 이해입니다. 약한 의미에서 정상 성이 강한 의미에서 정상임을 의미하지는 않는다는 생각은 직관에 동의 할 수 있지만, 아래 의견에서 whuber가 지적한 것처럼 증명하기에는 그렇게 간단하지 않을 수 있습니다. 그 의견에서 제안 된 아이디어를 설명하는 것이 도움이 될 수 있습니다.

우리는 어떻게 2 차 고정 프로세스 (평균, 분산 및 공분산 상수가 시간에 걸쳐 일정 함)를 정의 할 수 있지만 엄격한 의미로 고정되지는 않습니다 (고차의 순간은 시간에 따라 다름)?

@whuber (제대로 이해한다면)에서 제안한 것처럼 우리는 다른 분포에서 오는 일련의 관측치를 연결할 수 있습니다. 우리는 그 분포가 같은 평균과 분산을 가지고 있음을주의해야합니다. 한편으로, 예를 들어, 학생의 분포에서 5 자유도를 가진 관측 값을 생성 할 수 있습니다 . 평균이 0이고 분산이 인 5 / ( 5 - 2 ) = 5 / 3 . 한편, 우리는 평균이 0이고 분산이 가우스 분포를 취할 수 있습니다 .$t$$5$$5/(5-2)=5/3$$5/3$

두 분포는 동일한 평균 (0)과 분산 ( )을 공유합니다 . 따라서, 이들 분포로부터의 임의의 값의 연결은 적어도 2 차 정지일 것이다. 그러나, 가우스 분포에 의해 지배 이러한 점 첨도는 것 데이터 학생의 온 그 시점에서 동시에, - 분포가 될 것 . 따라서, 이러한 방식으로 생성 된 데이터는 4 차 모멘트가 일정하지 않기 때문에 엄격한 의미에서 정지되지 않는다.(3) t (3) + (6) / ( 5 - 4 ) = $5/3$$3$$t$$3+6/(5-4)=9$

공분산은 우리가 독립적 인 관측을 고려했기 때문에 일정하고 0과 같습니다. 이것은 사소한 것처럼 보일 수 있으므로 다음 자동 회귀 모델에 따라 관측치간에 약간의 의존성을 만들 수 있습니다.

ε t ~ { N ( 0 , σ 2 = 5 / 3

$$y_t = \phi y_{t-1} + \epsilon_t \,, \quad |\phi| < 1 \,, \quad t = 1,2,...,120$$ 과는 $$\begin{eqnarray} \epsilon_t \sim \left\{ \begin{array}{ll} N(0, \sigma^2=5/3) \quad & \hbox{if} \; t \in [0,20], [41,60], [81,100] \\ t_5 \quad & \hbox{if} \; t \in [21,40], [61,80], [101,120] \,. \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

$|\phi| < 1$ 은 2 차 정상 성을 만족시킵니다.

R 소프트웨어에서 이러한 계열 중 일부를 시뮬레이션하고 표본 평균, 분산, 1 차 공분산 및 첨도가 관측치 배치에서 일정하게 유지되는지 확인할 수 있습니다 (아래 코드는 및 샘플 크기 을 사용합니다). 시뮬레이션 된 시리즈 중 하나를 표시합니다) :ϕ = 0.8 n = $20$$\phi=0.8$$n=240$

# this function is required below
kurtosis <- function(x)
{
  n <- length(x)
  m1 <- sum(x)/n
  m2 <- sum((x - m1)^2)/n
  m3 <- sum((x - m1)^3)/n
  m4 <- sum((x - m1)^4)/n
  b1 <- (m3/m2^(3/2))^2
  (m4/m2^2)
}
# begin simulation
set.seed(123)
n <- 240
Mmeans <- Mvars <- Mcovs <- Mkurts <- matrix(nrow = 1000, ncol = n/20)
for (i in seq(nrow(Mmeans)))
{
  eps1 <- rnorm(n = n/2, sd = sqrt(5/3))
  eps2 <- rt(n = n/2, df = 5)
  eps <- c(eps1[1:20], eps2[1:20], eps1[21:40], eps2[21:40], eps1[41:60], eps2[41:60], 
    eps1[61:80], eps2[61:80], eps1[81:100], eps2[81:100], eps1[101:120], eps2[101:120])
  y <- arima.sim(n = n, model = list(order = c(1,0,0), ar = 0.8), innov = eps)

  ly <- split(y, gl(n/20, 20))
  Mmeans[i,] <- unlist(lapply(ly, mean))
  Mvars[i,] <- unlist(lapply(ly, var))
  Mcovs[i,] <- unlist(lapply(ly, function(x) 
    acf(x, lag.max = 1, type = "cov", plot = FALSE)$acf[2,,1]))
  Mkurts[i,] <- unlist(lapply(ly, kurtosis))
}

결과는 내가 기대 한 것이 아닙니다.

round(colMeans(Mmeans), 4)
#  [1]  0.0549 -0.0102 -0.0077 -0.0624 -0.0355 -0.0120  0.0191  0.0094 -0.0384
# [10]  0.0390 -0.0056 -0.0236
round(colMeans(Mvars), 4)
#  [1] 3.0430 3.0769 3.1963 3.1102 3.1551 3.2853 3.1344 3.2351 3.2053 3.1714
# [11] 3.1115 3.2148
round(colMeans(Mcovs), 4)
#  [1] 1.8417 1.8675 1.9571 1.8940 1.9175 2.0123 1.8905 1.9863 1.9653 1.9313
# [11] 1.8820 1.9491
round(colMeans(Mkurts), 4)
#  [1] 2.4603 2.5800 2.4576 2.5927 2.5048 2.6269 2.5251 2.5340 2.4762 2.5731
# [11] 2.5001 2.6279

평균, 분산 및 공분산은 2 차 고정 프로세스에 대해 예상되는 바와 같이 배치에서 비교적 일정합니다. 그러나 첨도는 비교적 일정하게 유지됩니다. 우리는 Student 's distribution 의 추첨과 관련된 배치에서 더 높은 첨도 값을 기대할 수 있습니다 . 어쩌면 관찰 첨도의 캡처 변경하는 것만으로는 충분하지 않습니다. 이 시리즈의 데이터 생성 프로세스를 모르고 롤링 통계를 살펴보면 시리즈가 적어도 네 번째 수준까지 정지 한 것으로 결론을 내릴 수 있습니다. 올바른 예를 들지 않았거나 시리즈의 일부 기능이이 샘플 크기에 가려져 있습니다.$t$$20$

나는 말할 수 없으며 @ javlacalle 의 답변에 대한 가치있는주의 사항 이 있으므로 별도의 답변을 포함시켜야합니다.

@javlacalle 는 다음과 같이 썼습니다.

엄격한 문구에는 2 차 문구가 포함되지만 대화는 사실이 아닙니다.

그러나 강한 문구 성은 약한 문 구성을 의미하지는 않습니다. 그 이유는 강한 고 정성이 프로세스에 반드시 한정된 두 번째 순간이 있다는 것을 의미하지 않기 때문입니다. 예를 들어, 표준 Cauchy 분포를 가진 iid 프로세스는 엄격하게 고정되어 있지만 유한 한 순간은 없습니다. 실제로, 유한 한 제 2 모멘트를 갖는 것은 강력하게 정지 된 프로세스의 약한 정상 성을 위해 필요하고 충분한 조건이다.

참조 : Myers, DE, 1989. . . 변화 없는? 그게 문제입니다. 수학. Geol. 21, 347–362.