바다에서 잃어버린 어부를 찾는 데 베이 즈 정리를 적용하는 방법

The Odds, Continually Updated 기사는 문자 그대로 Bayesian Statistics에 생명을 빚진 Long Island 어부의 이야기를 언급합니다. 짧은 버전은 다음과 같습니다.

한밤중에 보트에 두 명의 어부가 있습니다. 하나는 잠든 반면 다른 하나는 바다에 빠집니다. 보트는 첫 번째 사람이 마침내 일어나 해안 경비대에 알릴 때까지 밤새 계속 자동 조종 장치를 따라 트롤링을 계속합니다. 해안 경비대는 SAROPS (Search and Rescue Optimal Planning System) 라고하는 소프트웨어를 사용하여 저체온 상태에 머물러 있고 에너지가 거의 없어서 적시 에 발견합니다.

긴 버전은 다음과 같습니다 : 바다 속의 얼룩

베이 즈 정리가 실제로 어떻게 적용되는지에 대해 더 알고 싶었습니다. 나는 인터넷 검색으로 SAROPS 소프트웨어에 대해 꽤 많이 알았습니다.

SAROPS 시뮬레이터

시뮬레이터 구성 요소는 해류, 바람 등과 같은 적시 데이터를 고려하여 수천 개의 가능한 드리프트 경로를 시뮬레이션합니다. 이 드리프트 경로에서 확률 분포 맵이 작성됩니다.

다음 그래픽은 위에서 언급 한 실종 된 어부의 경우를 나타내는 것이 아니라이 프레젠테이션 에서 가져온 장난감 예제입니다.

확률 맵 1 (빨간색은 가장 높은 확률을 나타내고 파란색은 가장 낮은 확률을 나타냄)

시작 위치 인 원을 기록해 둡니다.

확률 맵 2- 더 많은 시간이 지났습니다

확률 맵은 멀티 모달이되었습니다. 이 예에서는 다음과 같은 여러 시나리오가 설명되기 때문입니다.

1. 사람이 물에 떠 있습니다-중간 상단 모드
2. 구명 뗏목에있는 사람 (북쪽 바람의 영향을 많이 받음)-하단 2 모드 ( "지브 효과"로 인해 분리됨)

확률 맵 3- 직사각형 경로를 따라 빨간색으로 검색이 수행되었습니다. 이 이미지는 플래너 (SAROPS의 다른 구성 요소)가 생성 한 최적 경로를 보여줍니다. 보시다시피, 해당 경로를 검색하고 시뮬레이터에서 확률 맵을 업데이트했습니다.

검색된 영역이 제로 확률로 감소하지 않은 이유가 궁금 할 것입니다. 그것은 실패의 가능성이 있기 때문이다. , 그것은 수색자가 그 사람을 물에서 간과 할 가능성이 거의 없기 때문이다. 당연히, 구명 뗏목에있는 사람보다보기 쉽기 때문에 고독한 사람이 실패 할 확률이 훨씬 높기 때문에 윗부분의 확률이 크게 떨어지지 않은 것입니다.$p(\text{fail})$

실패한 검색의 효과

이곳에서 베이 즈 정리가 시작됩니다. 검색이 수행되면 확률 맵이 그에 따라 업데이트되므로 다른 검색을 최적으로 계획 할 수 있습니다.

wikipedia 에서 Bayes '정리 를 검토 한 후 BetterExplained.com 의 Bayes 정리 에 대한 직관적이고 짧은 설명 기사에서

나는 베이 즈 방정식을 취했다.

$$P(\text{A}\mid\text{X}) = \frac{P(\text{X}\mid\text{A}) \times P(\text{A})}{P(\text{X})}$$

그리고 A와 X를 다음과 같이 정의했습니다 ...

• 사건 A : 그 사람이이 지역에있다 (그리드 셀)

• 테스트 X : 해당 영역 (그리드 셀)에 대한 검색에 실패했습니다 . 즉, 해당 영역을 검색했지만 아무것도 보지 못했습니다.

굽힐 수 있는,

$$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful}) = \frac{P(\text{unsuccessful}\mid\text{person there}) \times P(\text{person there})}{P(\text{unsuccessful})}$$

나는 Search and Rescue Optimal Planning System 에서 SAROPS 가 검색 경로와 시뮬레이션 된 드리프트 경로를 고려하여 검색 실패 확률을 계산한다는 것을 알았습니다 . 간단하게하기 위해 P ( fail ) 의 값이 무엇인지 알고 있다고 가정하자 .$P(\text{fail})$$P(\text{fail})$

이제 우리는

$$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful}) = \frac{P(\text{fail}) \times P(\text{person there})}{P(\text{unsuccessful})}$$

1. 베이 즈 방정식이 여기에 올바르게 적용됩니까?

2. 실패한 검색의 확률 인 분모는 어떻게 계산됩니까?

   또한 수색 및 구조 최적 계획 시스템 에서

   사전 확률은 사후 확률을 생성하기 위해 "일반적인 베이지안 방식으로 정규화" 됩니다

3. "정상 베이지안 방식으로 정규화" 란 무엇을 의미합니까?

   $P(\text{unsuccessful})$

4. $P(\text{person there})$$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful})$

또 다른 단순화 노트 -Search and Rescue Optimal Planning System에 따르면 사후 분포는 실제로 시뮬레이션 된 드리프트 경로의 확률을 업데이트 한 다음 그리드 확률 맵을 다시 생성하여 계산됩니다. 이 예제를 충분히 단순하게 유지하기 위해 시뮬레이션 경로를 무시하고 그리드 셀에 집중하기로 결정했습니다.

1. 그리드 셀 사이의 독립성을 가정하면, Bayes 'Theorem이 제대로 적용된 것으로 보입니다.
2. $$P(X) = P(X|A)P(A) + P(X|A^c)P(A^c)$$ $A^c$$A$$P(X|A^c)=1$
3. $P(A|X)$ $$P(A|X) \propto P(X|A)P(A)\quad P(A^c|X), \propto P(X|A^c)P(A^c), \mbox{ and } P(A|X)+P(A^c|X) = 1$$ $P(X)$

4. $i$$A_i$$i$$X_i$$i$$X$

   • $\sum_i P(A_i|X)=1$
   • $P(A_i|X) = P(A_i|X_i)\propto P(X_i|A_i)P(A_i)$$P(A_i|X) \propto P(A_i)$$P(A_i|X)$

   $P(A_i|X)$

전 헬리콥터 조종사였으며 실제로 수색 및 구조 임무를 수행 한 전 교수 가 내 질문- 해군 작전 분석 (Naval Operations Analysis) -에 관한 전체 장을 가지고있는 책을 지적했습니다 .

8 장에서 예제는 다음과 같이 제공됩니다 (약간 커스터마이즈했습니다) :

우선, 실종자, 보트 등의 위치에 대한 그리드 사전 분포가 있습니다.

사전 배포 :

그리드의 일부에서 검색이 수행되고 확률은 내 질문에서 언급 한 것과 같은 방식으로 베이 즈 방정식을 적용하여 정규화 된 사후 분포 로 업데이트됩니다 .

$$P(\text{target in (i,j)}\mid\text{no detection}) = \frac{P(\text{no detection}\mid\text{target in (i,j)}) \times P(\text{target in (i,j)})}{P(\text{no detection})}$$

여기서 (i, j) = (lat, long)

이 경우 열의 총 사전 확률 이 가장 높으므로 열 3을 검색하기로 결정했습니다 .

pFail = 0.2로 세 번째 열을 검색 한 후 정규화 된 사후 분포 :

내 질문은 주로 후부가 어떻게 정규화되었는지에 관한 것이었다. 다음은이 책에서 이루어졌다 방법 - 단순히 총 합으로 각각의 사후 확률을 분할 , S :

교수님의 말에 따르면 " 검색 실패 확률은 0.2 %입니다."

킥을 위해 pFail 이 0.5 인 다른 예제를 실행했습니다 . 첫 번째 예 ( pFail = 0.2)에서 다음으로 가장 좋은 검색 경로 (정규화 된 후방 검색을 제공하고 대각선 또는 지그재그가없는 것으로 가정)는 두 번째 예 ( pFail = 0.5) 다음으로 가장 좋은 경로는 2 열 입니다.

pFail = 0.5로 세 번째 열을 검색 한 후 정규화 된 사후 분포 :

그는 또한 "항공기에는 최고의 고도와 풍속을 결정하는 데 도움이되는 작은 점검표를 가지고 다니고있다. 비행 헬리콥터에서이 작업을하는 것은 세탁기 위에 앉아 책을 읽고 다른 세탁기에 녹화 된 책을 읽는 것과 같다"고 덧붙였다.