평균 평균의 신뢰 구간을 계산하는 방법은 무엇입니까?

실험을 세 번 반복한다고 상상해보십시오. 각 실험에서 3 회 측정 값을 수집합니다. 3 가지 실험 방법의 차이점에 비해 3 중 실험은 서로 밀접하게 연관되어 있습니다. 대 평균을 계산하는 것은 매우 쉽습니다. 그러나 어떻게 평균의 신뢰 구간을 계산할 수 있습니까?

샘플 데이터 :

실험 1:34, 41, 39

실험 2:45, 51, 52

실험 3:29, 31, 35

각 실험의 평균값과 마찬가지로 실험 내의 반복 값이 가우스 분포를 따른다고 가정합니다. 실험 내 변동의 SD는 실험 수단 중 SD보다 작습니다. 또한 각 실험에서 세 가지 값의 순서가 없다고 가정하십시오. 각 행에서 세 값의 왼쪽에서 오른쪽 순서는 전적으로 임의입니다.

간단한 접근법은 먼저 각 실험의 평균 인 38.0, 49.3 및 31.7을 계산 한 다음이 세 값의 평균과 95 % 신뢰 구간을 계산하는 것입니다. 이 방법을 사용하면 총 평균은 39.7이며 95 % 신뢰 구간은 17.4에서 61.9입니다.

이 접근법의 문제점은 3 중의 변형을 완전히 무시한다는 것입니다. 그 변형을 설명하는 좋은 방법이 없는지 궁금합니다.

균형 랜덤 랜덤 일원 분산 분석 모형 ( y i j ∣ μ i ) ∼ iid N ( μ i , σ 2 w ) 에서 대 평균에 대한 정확한 정확한 신뢰 구간이 있습니다. 실제로, 검사가 용이하다는 관찰 수단의 분포 ˉ Y 내가 ∙ 이다 ˉ Y 내가 ∙ ~ IID N ( μ를 , τ 2 ) 와 τ 2 = σ 2 B + σ 2

$$(y_{ij} \mid \mu_i) \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu_i, \sigma^2_w), \quad j=1,\ldots,J, \qquad \mu_i \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu, \sigma^2_b), \quad i=1,\ldots,I.$$ $\bar{y}_{i\bullet}$$\bar{y}_{i\bullet} \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu, \tau^2)$ , 그리고 잘 제곱의 합 사이의 것이 알려져SS의B는분포 가지고SS의B~Jτ2χ 2 I - 1 전반적인 관찰 평균 무관 ˉ Y ∙∙~N(μ,τ$\tau^2=\sigma^2_b+\frac{\sigma^2_w}{J}$$SS_b$ $$SS_b \sim J\tau^2\chi^2_{I-1}$$ . 따라서 ˉ y ∙ ∙ − $$\bar y_{\bullet\bullet} \sim {\cal N}(\mu, \frac{\tau^2}{I})$$ 은I-1자유도를갖는 Studentt분포를가지며, 여기서μ에 대한 정확한 신뢰 구간을 얻는 것이 쉽습니다. $$\frac{\bar y_{\bullet\bullet} - \mu}{\frac{1}{\sqrt{I}}\sqrt{\frac{SS_b}{J(I-1)}}}$$ $t$$I-1$$\mu$

이 신뢰 구간은 관측 값으로 그룹 평균 을 고려하여 가우스 평균에 대한 고전적인 구간에 지나지 않습니다$\bar{y}_{i\bullet}$ . 따라서 간단한 접근 방식은 다음과 같습니다.

간단한 접근법은 먼저 각 실험의 평균 인 38.0, 49.3 및 31.7을 계산 한 다음이 세 값의 평균과 95 % 신뢰 구간을 계산하는 것입니다. 이 방법을 사용하면 총 평균은 39.7이며 95 % 신뢰 구간은 17.4에서 61.9입니다.

맞습니다. 무시 된 변형에 대한 직감 :

이 접근법의 문제점은 3 중의 변형을 완전히 무시한다는 것입니다. 그 변형을 설명하는 좋은 방법이 없는지 궁금합니다.

잘못되었습니다. 또한 /stats//a/72578/8402 에서 이러한 단순화의 정확성에 대해 언급했습니다.

2014 년 12 월 4 일 업데이트

일부 세부 사항은 이제 내 블로그에 작성되었습니다 . 신뢰 구간을 얻기 위해 모델 축소 .

이것은 선형 혼합 효과 모델 내 추정 문제입니다. 문제는 대 평균 의 분산이 (데이터의 분산 분석을 통해) 별도로 추정되어야하는 두 개의 분산 성분 의 가중 합이라는 것입니다 . 추정치는 다른 자유도를 갖습니다. 따라서 일반적인 소 표본 (학생 t) 공식을 사용하여 평균에 대한 신뢰 구간을 구성하려고 시도 할 수 있지만 평균과의 편차가 학생 t 분포를 정확하게 따르지 않기 때문에 공칭 범위를 달성 할 수는 없습니다.

Eva Jarosova 의 선형 혼합 효과 모델을 사용한 추정 (2010) 기사 에서이 문제에 대해 설명합니다. (2015 년 현재 더 이상 웹에서 사용할 수없는 것으로 보입니다.) "작은"데이터 집합 (이것보다 이보다 약 3 배 더 큰)의 컨텍스트에서 시뮬레이션을 사용하여 두 개의 대략적인 CI 계산을 평가합니다 (우물 알려진 Satterthwaite 근사와 "Kenward-Roger 's method"). 그녀의 결론은 다음과 같습니다.

시뮬레이션 연구에 따르면 공분산 모수의 추정 품질과 결과적으로 작은 표본의 신뢰 구간 조정이 상당히 나빠질 수 있음이 밝혀졌습니다 .... 잘못된 평가는 기존 구간의 실제 신뢰 수준에 영향을 줄뿐만 아니라 조정을 불가능하게 할 수도 있습니다. 균형 데이터의 경우에도 세 가지 유형의 간격 [기존, Satterthwaite, KR]은 실질적으로 다를 수 있습니다. 기존의 간격과 조정 된 간격의 현저한 차이가 관찰되면 공분산 모수 추정값의 표준 오차를 확인해야합니다. 한편, 3 종류의 간격의 차이가 작은 경우에는 조정이 불필요 해 보인다.

요컨대, 좋은 접근 방식은

1. 분산 성분 추정값을 사용하고 t- 분포를 적용하여 기존 CI를 계산합니다.

2. 또한 조정 된 CI 중 하나 이상을 계산하십시오.

3. 계산이 "가까운"경우 기존 CI를 수락하십시오. 그렇지 않으면 신뢰할 수있는 CI를 생성하기에 데이터가 충분하지 않다고보고하십시오.

두 문제를 모두 해결하는 하나의 신뢰 구간을 가질 수 없습니다. 하나를 선택해야합니다. 실험 분산 내 평균 제곱 오차 항에서 하나를 도출하여 실험 내 값을 얼마나 정확하게 추정 할 수 있는지 또는 실험간에 값을 계산할 수 있는지에 대해 무언가를 말할 수 있습니다. 방금 전자를 한 경우 실제 평균 값에 대해 아무것도 나타내지 않고 효과 (이 경우 0)에 대해서만 아무것도 나타내지 않기 때문에 대 평균이 아닌 약 0 주위에 플롯하는 경향이 있습니다. 또는 둘 다 플롯하고 그들이하는 일을 설명 할 수 있습니다.

당신은 그 사이에 손잡이가 있습니다. 내부에서 MSE와 함께 작동하기 위해 분산 분석에서 오류 항을 계산하는 것과 같습니다. CI의 SE는 sqrt (MSE / n)입니다 (이 경우 n = 3).

원래의 데이터 범위에서도 대 평균의 CI가 너무 넓다고 생각합니다 [17,62].

이 실험은 화학에서 매우 일반적입니다. 예를 들어, 참고 자료 인증시 전체 로트에서 일부 병을 무작위로 선택해야하며 각 병에 대해 반복 분석을 수행해야합니다. 기준값과 불확실성을 어떻게 계산합니까? 그것을 할 수있는 방법이 많이 있지만 가장 현명한 (그리고 올바른 생각은) 메타 분석 또는 ML (Dersimonian-Laird, Vangel-Rukhin 등)을 적용하는 것입니다.

부트 스트랩 견적은 어떻습니까?