정규 분포를 제공하는 독립 분포의 비율

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두 개의 독립 정규 분포의 비율은 Cauchy 분포를 제공합니다. t- 분포는 정규 분포를 독립 카이 제곱 분포로 나눈 값입니다. 두 개의 독립 카이 제곱 분포의 비율은 F- 분포를 제공합니다.

평균 및 분산 로 정규 분포 확률 변수를 제공하는 독립 연속 분포 의 비율을 찾고 있습니까? $\mu$ $\sigma^2$

아마도 가능한 대답이 무한히있을 것입니다. 가능한 답변을 몇 개 줄 수 있습니까? 비율이 계산되는 두 개의 독립적 인 분포가 동일하거나 적어도 유사한 분산을 갖는 경우 특히 감사하겠습니다.

— 레미
소스

2

비율 분포에 관한 Wikipedia 기사는 당신이 찾고있는 사례의 예를 제공하지는 않지만 흥미로운 기사입니다 .

— Avraham

2

다소 특별한 경우는 는 표준 정규이고, 각각 확률로 각각 독립적으로 이고, , 및 는 동일한 평균과 분산을 가지며 는 정규 분포.

X

$X$

Y

$Y$

\pm 1

$\pm1$

\frac{1}{2}

$\frac12$

X

$X$

Y

$Y$

\frac{X}{Y}

$\frac{X}{Y}$

\frac{X}{Y}

$\frac{X}{Y}$

— Henry

1

" 두 개의 독립 카이 제곱 분포의 비율은 F- 분포를 제공합니다 ." 베타 프라임 배포판을 제공합니다. F를 얻으려면 각 카이-제곱을 df로 스케일링해야합니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

2

여러 가지로 인해 모든 조건을 충족시키는 것이 반드시 가능하다는 것을 전혀 확신하지 못합니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

1

정규 변수 생성 방법 (예 : Box-Muller)을 예로 들어 (원법을 사용하는) 정규 분포를 제공하는 균일 분포의 비율이 없다고 말할 것입니다 (균일 분포가 필요하다고 가정)

— Nikos M.

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하자. 여기서 에는 평균 확률이 이고 확률 분포가 같은 지수 분포가 있습니다. 하자 여기서 . 가 서로 독립적 이라고 가정하면 은 및 와 독립적입니다 . 따라서 우리는 $Y_1 = Z \sqrt{E}$ $E$ $2 \sigma^2$ $Z = \pm 1$ $Y_2 = 1 / \sqrt{B}$ $B \sim \mbox{Beta}(0.5, 0.5)$ $(Z, E, B)$ $Y_1$ $Y_2$ $Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

$Y_1$ 독립적 인 ; $Y_2$
둘 다 연속; 그런
$Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$ 입니다.

얻는 방법을 알지 못했습니다 . 문제 가 과 같이 독립적 인 와 를 찾는 것으로 줄어들 기 때문에이 작업을 수행하는 방법을보기가 더 어렵 습니다. 독립 및 대해 을 만드는 것보다 조금 어렵습니다 . $\text{Normal}(\mu, \sigma^2)$ $A$ $B$

\frac{A - B μ}{B} \sim Normal (0, 1)

$\frac{A - B \mu}{B} \sim \text{Normal}(0, 1)$

A / B \sim Normal (0, 1)

$A/B \sim \text{Normal}(0,1)$

A

$A$

B

$B$

— 사람
소스

1

이것이 사실이라면, 이것은 굉장합니다.

— Neil G

2

@NeilG 사실이다; 내 베타 및 지수의 곱은 모양이 1/2 인 감마입니다 (감마를 사용하여 베타 및 독립 감마를 만들 수있는 방법 때문에). 그러면 법선의 제곱이 카이 제곱이라는 사실을 사용하여 그 제곱근은 반 정상입니다.

— guy

1

최근에 정규 분포 인 두 변수의 곱을 묻는 질문이있었습니다 (다시 찾을 수 없습니다). 이 질문에는 두 개의 변형 된 균일 분포 변수 의 곱 에서 정규 분포 (또는보다 정확하게 이변 량 정규 분포)를 계산하는 Box-Muller 변환 과 관련된 의견이나 답변이 있습니다. 이 대답은 그것에 많이 관련되어 있지만 Box-Muller 변환에서 이러한 변수 중 하나의 역수를 취합니다. cc : @kjetilbhalvorsen

— Sextus Empiricus

1

비율이 계산되는 두 개의 독립적 인 분포가 동일한 경우 특히 감사하겠습니다.

정규 변수가 동일한 분포 또는 분포 패밀리를 갖는 두 개의 독립 변수의 비율로 기록 될 수있는 가능성 은 없습니다 (예 : 두 척도 분포 변수 또는 Cauchy- 분포 의 비율 인 F- 분포). 평균이 0 인 두 정규 분포 변수의 비율입니다. $\chi^2$

그 가정 : 모두에 대해 여기서 동일한 분배 또는 배포 가족은 우리가 $A, B \sim F$ $F$
$X = \frac{A}{B} \sim N (μ, σ^{2})$ $X = \frac{A}{B} \sim N(\mu,\sigma^2)$
또한 와 를 역전시킬 수 있어야합니다 (정규 변수가 동일한 분포 또는 분포 패밀리를 가진 두 개의 독립 변수의 비율로 쓰여질 수 있다면 순서가 역전 될 수 있습니다) $A$ $B$
$\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N (μ, σ^{2})$ $\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N(\mu,\sigma^2)$
그러나 이면 는 사실이 될 수 없습니다 (정규 분포 변수의 역은 다른 법선 이 아닙니다) 분산 변수). $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ $X^{-1} \sim N(\mu,\sigma^2)$

더 넓은 결론 : 모든 배포 패밀리 의 변수를 다른 배포 패밀리 의 변수 비율로 쓸 수 있으면 패밀리 가 역수 (즉, 분포가 에있는 변수 의 경우 역수 분포는 ). $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_X$

예를 들어 코시 분포 변수의 역수는 코시 분포입니다. F- 분산 변수의 역함수도 F- 분포됩니다.

이 'if'가 'iff'가 아닌 경우 대화는 사실이 아닙니다. 되면 및 후 항상 동일한 분포에게서 추천자 및 분모의 비율 분포로 기록 할 수없는 경우가 있습니다 동일한 분포 가정에있다. $X$ $1/X$

반례 : 우리는 어떤에있는 분배 가족 상상할 수있는 우리가 가지고있는 가족 의 같은 가족을하지만 우리는이없는 . 이것은 분모와 노미 네이가 같은 분포를 갖는 비율 분포에 대해 가져야한다는 사실과 상반됩니다 X / 라인을 따라 적분과 같은 연속 분포에 대해 비슷한 것을 표현할 수 있음) X의 산점도에서 Y = 1, X와 Y의 분포가 동일하고 독립적 인 경우 Y는 밀도가 0이 아닙니다. $X$ $1/X$ $P(X=1)=0$ $P(X=1) \neq 0$

— Sextus Empiricus
소스

보지마 및 가 정상 이기 때문에 정상으로 만들지 않는 것 같습니다 .

A / D

$A/D$

B / C

$B/C$

\frac{A / D}{B / C}

$\frac{A/D}{B/C}$

— Carl

보다 나은. 이제 말이됩니다.

— Carl

1

나는 두 번째 진술이 첫 번째 진술에서 어떻게 나오는지 이해하지 못합니다. 일부 존재하는 경우 가에 따라 않는 이유 등 자신의 몫이 정상입니다, 다른 순서로 자신의 몫 정상적인해야한다고? 이 질문은 모든 요소 쌍의 몫이 정상이되도록 분포 패밀리를 요구하지 않았습니다.

A, B

$A, B$

— Neil G

1

나는 당신이 무슨 말을하는지 이해하지 못합니다. 이상적으로는 다른 사람이 편집 내용을 읽지 않아도 일관된 논쟁이 될 것입니다. 지금은 두 번째 진술 ( "우리도 있어야합니다")이 처음부터 따르지 않는 것 같습니다.

— Neil G

1

@kjetilbhalvorsen 어떻게 수정해야합니까? 나는 "비율이 계산되는 두 개의 독립적 인 분포가 동일한 경우 특히 감사하겠습니다"라는 질문의 일부에 답했다 . 나는 남자의 대답이 그것에 어떻게 관련되어 있는지 알지 못한다.

— Sextus Empiricus

0

글쎄, 여기에 하나가 있지만 그것을 증명하지는 않고 시뮬레이션에서만 보여줍니다.

동일한 대형 모양 매개 변수 (여기서 )를 사용 하여 두 개의 베타 분포를 만들고 그 중 하나의 값에서 1/2을 빼고 "분자"라고합니다. 그러면 최대 범위가 인 PDF를 얻을 수 있지만 모양 매개 변수가 너무 커서 결코 얻을 수 없습니다 범위의 최대 값까지 다음은 "분자" 의 히스토그램입니다. $\text{Beta}(200,200)$ $n=40,000$ $x$ $\left(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)$ $n=40,000$

다음으로, 우리는 두 번째 베타 배포를 "분모"라고 부르고 아무것도 빼지 않고 일반적인 베타 배포 범위는 이며 그 중 하나는 다음과 같습니다 $(0,1)$

다시 말하지만, 모양이 너무 크기 때문에 값으로 최대 범위에 접근하지 않습니다. 다음으로 몫 를 중첩 정규 분포를 사용하여 PDF로 플로팅합니다 . $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$

이 경우 정규 분포 결과는 이며 다음과 같은 정규성을 테스트합니다. $\mu \to -0.0000204825,\sigma \to 0.0501789$

(\begin{array}{ccc} Statistic & P-Value \\ Anderson-Darling & 0.799786 & 0.481181 \\ Baringhaus-Henze & 1.40585 & 0.0852017 \\ Cramér-von Mises & 0.123145 & 0.482844 \\ Jarque-Bera ALM & 4.48103 & 0.106404 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00452328 & 0.386335 \\ Kuiper & 0.00798063 & 0.109127 \\ Mardia Combined & 4.48103 & 0.106404 \\ Mardia Kurtosis & 1.53849 & 0.123929 \\ Mardia Skewness & 2.09399 & 0.147879 \\ Pearson χ^{2} & 134.353 & 0.571925 \\ Watson U^{2} & 0.113831 & 0.211187 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.799786 & 0.481181 \\ \text{Baringhaus-Henze} & 1.40585 & 0.0852017 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.123145 & 0.482844 \\ \text{Jarque-Bera ALM} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00452328 & 0.386335 \\ \text{Kuiper} & 0.00798063 & 0.109127 \\ \text{Mardia Combined} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Mardia Kurtosis} & 1.53849 & 0.123929 \\ \text{Mardia Skewness} & 2.09399 & 0.147879 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 134.353 & 0.571925 \\ \text{Watson }U^2 & 0.113831 & 0.211187 \\ \end{array} \right)$

다시 말해, 우리는 그 비율이 매우 힘들다고하더라도 그 비율이 정상적이지 않다는 것을 증명할 수는 없습니다.

왜? 과잉으로 내 직관. 존재하는 경우 증거를 남겼습니다 (모멘트 방법의 한계를 통해 가능하지만 다시 직관입니다).

$\text{Beta}(20,20)$ $\text{Beta}(20,20)-\frac{1}{2}$ $t$ $\mu \to -0.000251208,\sigma \to 0.157665,\text{df}\to 33.0402$

\begin{array}{lll} Statistic & P-Value \\ Anderson-Darling & 0.275262 & 0.955502 \\ Cramér-von Mises & 0.0351108 & 0.956524 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00320936 & 0.804486 \\ Kuiper & 0.00556501 & 0.657146 \\ Pearson χ^{2} & 145.077 & 0.323168 \\ Watson U^{2} & 0.0351042 & 0.878202 \end{array}

$\begin{array}{l|ll} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \hline \text{Anderson-Darling} & 0.275262 & 0.955502 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0351108 & 0.956524 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00320936 & 0.804486 \\ \text{Kuiper} & 0.00556501 & 0.657146 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 145.077 & 0.323168 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0351042 & 0.878202 \\ \end{array}$

또 다른 힌트 Student 's $\dfrac{\mathcal{N}(0,1)}{\mathcal{N}(10,1/1000)}\to$ $t$ $\mu \to -0.0000535722,\sigma \to 0.0992765,\text{df}\to 244.154$

(\begin{array}{ccc} Statistic & P-Value \\ Anderson-Darling & 0.501677 & 0.745102 \\ Cramér-von Mises & 0.0696824 & 0.753515 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00355688 & 0.692225 \\ Kuiper & 0.00608382 & 0.501133 \\ Pearson χ^{2} & 142.88 & 0.370552 \\ Watson U^{2} & 0.0603207 & 0.590369 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.501677 & 0.745102 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0696824 & 0.753515 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00355688 & 0.692225 \\ \text{Kuiper} & 0.00608382 & 0.501133 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 142.88 & 0.370552 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0603207 & 0.590369 \\ \end{array} \right)$

— 칼
소스

5

정규 분포에 매우 가깝습니다. 그러나 그것은 정규 분포를 갖는 것과 전혀 같은 것은 아니며, 동일한 매개 변수를 사용하는 중심 대칭 베타와 일반 대칭 베타의 비율이 실제로 정상이라고 생각하지 않습니다. 그래도 이것에 대해 잘못 생각하고 싶습니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

2

귀하의 솔루션은 분명히 정상이 아닙니다. 이 방법을 일반화 할 수 있습니다. 대략 정규 분포를 취하고 0이 아닌 숫자에 가까운 확률로 분포로 나눕니다. 결과는 (정확히) Normal에 가깝지만 여전히 Normal이 아닙니다. 많은 테스트를 적용하는 것은 비정규 성을 입증하기에 충분히 큰 샘플을 생성하지 않았 음을 보여주기 때문에 설득력이 없습니다.

— whuber

1

@whuber 에서 노이즈는 정상적인 결과를 초래하지 않을 것임을 정상적인 기계 정밀도로 보여줄 수 있습니다. 나는 그것을 정밀하게 할 수있는 슈퍼 컴퓨터가 없습니다. 당신이 보여줄 수 있고, 내가 이것을보고 싶었던 이유는, 달성 할 수없는 목표로 가장자리를 비판하는 것이 아니라 수학적으로 이러한 것들을 증명하거나 반증하는 것이 었습니다.

10^{8}

$10^8$

— Carl

2

문제의 핵심에 대해 살펴 보겠습니다. (1) 정규성을 반증하는 것은 적분 근사법의 간단한 연습입니다. 여기에 세부 사항을 밝힐 필요가 없습니다. 예를 들어 , 200 번째 순간이 무한하다는 것을 쉽게 증명할 수 있습니다 . (2) 당신의 대답은 분포 를 표본 과 혼동 합니다. 내가 반대하는 것은이 근본적인 혼란이다. 이 답변이 도움이되는 것보다 오도 된 것으로 생각하는 이유입니다. BTW, 나는 마지막 코멘트를 가볍게 쓰지 않았습니다. 나는 그 테스트를 수행했습니다. 나는 슈퍼 컴퓨터가 아니라 10 년 전의 PC 워크 스테이션을 사용하여 전체 프로세스를 수행하는 데 몇 초 밖에 걸리지 않았습니다.

— whuber

1

@whuber 어떤 근사치를 테스트하고 있습니까? 첫 번째, 두 번째 또는 세 번째? BTW, 근사치 인 경우에도 마찬가지입니다. 제한적인 경우에만 정확할 것을 제안합니다. 모든 통계는 근사치이므로 이해심을 공유하지 않습니다.

— Carl

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많은 가능성이 있다고 생각합니다. 여기 제가 생각할 수있는 것이 있습니다. 두 개의 표준 정규 분포 rv가 있고 에 Cauchy Distributed rv 것으로 알려져 있습니다 (Zolotarev). $X_1^G,X_2^G$ $X^C_{\gamma}$

\frac{X_{1}^{G}}{X_{2}^{G}} = X_{γ}^{C}

$\frac{X_1^G}{X_2^G} = X^C_{\gamma}$

그런 다음 안정 분포의 이중성으로 (여기서 는 Cauchy의 스케일 매개 변수 임)를 알 수 있습니다. 따라서 정규 분포는 정규 분포와 코시 비율 사이의 결과 일 수 있습니다. $X^C_{\gamma}\sim1/X^C_{1/\gamma}$ $\gamma$

X_{1}^{G} = X_{2}^{G} / X_{1 / γ}^{C}

$X_1^G= X_2^G/X^C_{1/\gamma}$

원하는 나는 두 분포를 중심으로 이동시킵니다. ( ). 들어 , 비 분포에 대해 언급 된 위키 페이지의 두 개의 정규 분포의 비율은 화학식이있는 경우는 그 역수 값 코시의 스케일 팩터를 교체해야 할 것이다 ( ). $\mu$ $\mu$ $\sigma$ $\gamma\rightarrow1/\gamma$

— 추스
소스

4

비율을 명시 적으로 계산하거나 시뮬레이션을 통해 가설을 테스트하십시오. 귀하의 주장이 틀렸다는 것을 보여줄 것입니다. 분포 비율이 분자를 "해결"하기 위해 "취소"될 수 있다고 가정하면 오류가 발생합니다.

— whuber

1

X_{2}^{G}

$X_2^G$