시끄러운 관찰에서 진정한 평균 결정

양식 (mean, stdev)의 큰 데이터 포인트 집합이 있습니다. 나는 이것을 단일 (더 나은) 평균과 (희망적으로) 더 작은 표준 편차로 줄이고 싶습니다.

분명히 나는 ​​단순히 ∑ d a t a m e a n을 계산할 수 있었다 그러나이 데이터 포인트 중 일부는 상당히 다른 사람보다 더 정확하다는 사실을 고려하지 않은 것.$\frac{\sum data_{mean}}{N}$

간단히 말해서, 이러한 데이터 포인트의 가중 평균을 수행하고 싶지만 표준 편차 측면에서 가중 함수가 무엇인지 모릅니다.

당신 은 형태 의 평균 μ 에 대한 선형 추정치 를 구합니다$\mu$

$$\hat{\mu} = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i$$

여기서 는 가중치이고 x i 는 관측치입니다. 목표는 가중치에 적합한 값을 찾는 것입니다. 하자 σ 내가 될 사실 의 표준 편차 X 전 또는이 일치하지 않을 수도 있습니다, 추정 된 표준 편차는 가능성이 있습니다. 관측치가 편향되지 않은 것으로 가정합니다. 즉, 그들의 기대치가 모두 평균 μ와 같습니다 . 이러한 측면에서 우리의 기대 것을 계산할 수 있습니다 μ가 있다$\alpha_i$$x_i$$\sigma_i$$x_i$$\mu$$\hat{\mu}$

$$\mathbb{E}[\hat{\mu}] = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \mathbb{E}[x_i] = \mu \sum_{i=1}^{n} \alpha_i$$

이 추정량의 분산은 다음 과 같습니다 ( 가 서로 관련이없는 경우).$x_i$

$$\operatorname{Var}\left[\hat{\mu}\right] = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i^2 \sigma_i^2.$$

이 시점에서 많은 사람들은 추정자가 편향되지 않도록 요구합니다 . 즉, 우리는 기대가 실제 평균과 같기를 원합니다. 이것은 가중치가 단일해야 함을 의미합니다. 이 제한에 따라 추정값의 정확도 (평균 제곱 오차로 측정)는 분산을 최소화하여 최적화됩니다. 독특한 해결책은 (라그랑주 승수로 쉽게 얻을 수 있거나 거리 최소화 문제로 상황을 기하학적으로 재 해석함으로써 얻을 수 있습니다) 가중치 는 1 / σ 2 i에 비례해야합니다 . $\alpha_i$$1/\sigma_i^2$ 합집합 제한은 값을 낮추어

$$\hat{\mu} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i / \sigma_i^2}{\sum_{i=1}^{n} 1 / \sigma_i^2}$$

과

$$\operatorname{Var}\left[\hat\mu\right] = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n} 1 / \sigma_i^2} = \frac{1}{n} \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^2}\right)^{-1}.$$

즉,

$1/n$

$\sigma_i$